2015年湖南省中学数学教师解题比赛试题+答案（word版）

2015年湖南省中学数学教师解题比赛 高中组初赛试卷 (考试时间：2015年10月24日9:00-11:00) 说明： 请用蓝色、黑色或蓝黑色钢笔或签字笔作答； 答案请写在本试卷相应位置，试卷范围以外作答无效； 一、选择题（本大题共8小题，每题5分，满分40分） 1. 如果将整数集Z中所有被3除所得余数为的整数构成的集合称为一个“类”，并记为，则下列结论中错误的是 （ ） A. B. C.“整数属于同一‘类’”的充要条件是“” D．“整数属于同一‘类’”的充要条件是“” 解：选C（提示：对于A选项，由于2015被3除余2，所以；对于B选项，任何一个正整数被3除的余数只可能是0,1,2，所以；对于C选项，因为属于同一‘类’，不妨设则，而，所以C错；对于D选项，因为属于同一‘类’，可设（其中），则）. 2. 在中，分别是内角的对边，且，.那么，周长的最大值是 （ ） A. B. C. D. 解：C（提示：由已知得， 即，则，所以.由正弦定理得 ，则. 所以） 3. 若已知,则由棣莫佛定理可知满足的的个数为 ( ) A.128 B.256 C.512 D.1024 解：选B（提示：由棣莫佛定理可得： . ① 又 ② 由①②得解得.又因为，, 所以，故满足条件的共有256个）. 4. 已知四面体有两个面为正三角形，因而有5条棱长相等，设第6条棱的长为，则体积 （ 　） A. 是增函数但无最大值 B. 是增函数且有最大值 C. 不是增函数且无最大值 D. 不是增函数但有最大值 解：D（提示：不妨设，设；，取BC，AD的中点分别为E，F，可知平面AED垂直BC；由 ， 得三棱锥体积， 由，知函数在其定义域不是增函数但有最大值．故选D.） 5. 对所有满足的，极坐标方程表示的不同双曲线条数为 （ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 15 解：选A（提示：当时，表示的是抛物线.当时，令，注意到，所以离心率e>1的取值共有个还不同的值.） 6. 已知非零向量满足且，则为 （ ） A. 三边均不相等的三角形 B. 直角三角形 C. 等腰非等边三角形 D. 等边三角形 解：选D（提示：由于所在直线穿过的内心，则由知. 又由,知，则为等边三角形 .） 7. 已知均为正数，且，则M的取值范围为 （ ） A. B. C. D. 解：选C（提示：由 则.） 8. 华夏文化认为宇宙万事万物皆由阴 阳或五行和合而成.和，指和谐、和平、详和；合，指结合、融合、合作.中华“和合”文化源远流长.作为文化重要组成部分的数学最讲“和合”.在数集的扩充的过程中，每一次扩充后同样适用于原来的数集，表现为高度“和合”的是 （ ） A. 大小关系 B. 运算法则 C. 几何意义 D.封闭性质 解:选B 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分） 9. 已知实数满足，则 值为 . 解:填1(提示:由，有 从而.) 10. 已知三角形三边所在的直线方程是： ：； ：； ：. 过三角形三顶点、对称轴为坐标轴的抛物线方程是 . 解：填(提示:由题意知三角形的三顶点即为 三个方程组的解,所以抛物线上三点分别为.又由抛物线关于坐标轴对称知对称轴为轴，故可设抛物线方程为.把代入得，所以.) 11. 如图所示，作一个边长为1的正三角形， 且与轴的夹角为，易知. 令轴上的单位向量为，则有 . 仿照以上方法,推广以上结论可得,若,则 . 解：(提示:做一个首尾连接而成的正边形，取轴上的单位向量为， 则,即, 所以.) 12. 已知()，以为边长构成一个钝角三角形，则的取值范围为 . 解：填(提示:由题设，知.由于构成钝角三角形故有,即，即,由于因此有.另一方面，由于知，同理得.综上的范围为.) 13. 已知数列是公差的等差数列，则函数的最小值为 .(用含有的式子表示) 解：填(提示:易知当时有最小值， 14. 已知且满足: , 则的取值范围为 . 解：填(提示:已知原式可变形为，令，，，则且，求得， 注意到， 则,即.) 三、解答题（本大题共4小题，每小题20分，满分80分） 15. 某公司为了解用户对其产品的满意度，从，两地 ... ...