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课件网) 1.3 空间向量及其运算的 坐标表示 1.3.1 空间直角坐标系 1 课前预习 素养启迪 1.空间直角坐标系 在空间选定一点O和一个单位正交基底{i,j,k}.以点O为原点,分别以i,j,k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴: x轴、y轴、z轴,它们都叫做坐标轴.这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz,O叫做原点,i,j,k都叫做 ,通过每两条坐标轴的平面叫做 ,分别称为Oxy平面,Oyz平面,Ozx平面,它们把空间分成八个部分. [问题1] 空间直角坐标系的三个要素是什么 答案:原点、坐标轴方向、单位长度. 坐标向量 坐标平面 2.空间直角坐标系中点的坐标 横 纵 竖 (x,y,z) [问题2] 如果点P不在三个坐标平面内,如何确定它的坐标 答案:如图,过点P分别作垂直于x轴、y轴和z轴的平面,依次交x轴、y轴和z轴于点A,B,C.设交点A,B,C在x轴、y轴和z轴上的坐标分别代表唯一的实数x,y,z,将这三个实数按顺序排成一组(x,y,z),那么点P就对应唯一确定的有序实数组(x,y,z).即得到点P的坐标. [问题3] 给定一点P的坐标,即P(x,y,z),如何在空间直角坐标系下确定这个点 答案:给定点P(x,y,z),在x轴、y轴和z轴上依次选取坐标为x,y,z的点A,B,C,过这三点分别作一个垂直于x轴、y轴和z轴的平面,则这三个平面的唯一交点就是有序实数组(x,y,z)所确定的点P. 空间中的点P与有序实数组(x,y,z)之间可以建立一一对应关系. 1.点(2,0,3)在空间直角坐标系中的( ) A.y轴上 B.Oxy平面上 C.Ozx平面上 D.第一象限内 C 解析:点(2,0,3)的纵坐标为0,所以该点在Ozx平面上. 2.已知点A(-2,3,4),则点A关于原点的对称点的坐标为 ( ) A.(2,3,4) B.(-2,-3,4) C.(-2,3,-4) D.(2,-3,-4) D 解析:因为点A(-2,3,4),所以点A关于原点的对称点的坐标为(2,-3,-4). 3.(多选题)关于点P(1,-1,2),下列说法正确的是( ) A.点P关于Oxy平面的对称点P1的坐标为(1,-1,-2) B.点P关于x轴的对称点P2的坐标为(-1,-1,2) C.点P关于Oyz平面的对称点P3的坐标为(-1,-1,2) D.点P关于y轴的对称点P4的坐标为(-1,-1,-2) ACD 解析:求点关于坐标轴或坐标平面对称的点的坐标,其规律是“关于谁对称,谁不变”,如点(x,y,z)关于y轴的对称点为(-x,y,-z), 关于平面Oyz的对称点是(-x,y,z),点(x,y,z)关于x轴的对称点为(x,-y,-z),关于平面Oxy的对称点是(x,y,-z), A选项,点P关于Oxy平面的对称点P1的坐标为(1,-1,-2),故A正确; B选项,点P关于x轴的对称点P2的坐标为(1,1,-2),故B错误; C选项,点P关于Oyz平面的对称点P3的坐标为(-1,-1,2),故C正确; D选项,点P关于y轴的对称点P4的坐标为(-1,-1,-2),故D正确. 4.已知A(3,2,-4),B(5,-2,2),则线段AB中点的坐标为 . (4,0,-1) 5.设{i,j,k}是空间的一个单位正交基底,则向量a=3i+2j-k, b=-2i+4j+2k的坐标分别是 . (3,2,-1),(-2,4,2) 解析:因为{i,j,k}是单位正交基底,故根据空间向量 坐标的概念知a=(3,2,-1),b=(-2,4,2). 2 课堂探究 素养培育 空间直角坐标系 [例1] 长方体ABCD-A′B′C′D′的长、宽、高分别为AB=8,AD=3, AA′=5.建立适当的空间直角坐标系,并求顶点A,B,C,D,A′,B′, C′,D′的坐标. 解:如图,以A为原点,分别以直线AB,AD,AA′为x轴、y轴、z轴, 建立空间直角坐标系Axyz,则点A,B,C,D都在平面Axy内,因而其竖坐标z都为0,因此A,B,C,D的坐标分别是A(0,0,0),B(8,0,0),C(8,3,0),D(0,3,0). 由于点A′,B′,C′,D′都在一个垂直于z轴的平面A′B′C′D′内.又AA′=5,所以这四点的竖坐标z都是5.又过A′,B′,C′,D′分别作Axy平面的垂线,垂足 分别为A,B,C,D,因此A′,B′,C′,D′的横坐标x、 纵坐标y分别与A,B,C,D的横坐标x、纵坐标y相同. 因此A′,B′,C′,D′的坐标分别是A′(0,0,5), B′(8,0,5),C′(8,3,5),D ... ...
