安徽省芜湖市安徽师范大学附属中学2023-2024学年高二下学期4月期中考查数学试题（含答案）

安徽师范大学附属中学2023~2024学年度第二学期期中考查 高二数学试题 一、选择题（每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求） 1．已知为虚数单位，复数，则（ ） A．3 B． C．5 D．2 2．已知向量，，若与垂直，则（ ） A．13 B．―9 C．11 D． 3．掷两枚质地均匀的骰子，记事件A＝“第一枚出现奇数点”，事件B＝“第二枚出现偶数点”，则事件A与事件B的关系为（ ） A．互斥 B．互为对立 C．相互独立 D．相等 4．已知抛物线C：（）的焦点为F，准线为l，点A在抛物线C上，点B在准线l上，若是边长为6的等边三角形，则p的值是（ ）． A．3 B． C．6 D． 5．若一个四位数的各个数位上的数字之和为4，则这样的四位数共有（ ）个． A．10 B．15 C．19 D．20 6．已知函数存在两个零点，则实数t的取值范围为（ ） A． B． C． D． 7．杨辉三角（如下图所示）是数学史上的一个伟大成就，杨辉三角中从第2行到第2024行，每行的第3个数字之和为（ ） A． B． C． D． 8．将函数的图像向左平移个单位长度后得到函数的图像，再将的图像上各点的纵坐标不变、横坐标变为原来的（）倍，得到函数的图像，且在区间上恰有两个极值点、两个零点，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9．已知数列的前n项和为，则下列说法正确的是（ ） A． B．使取最大值的n值有2个 C．使得成立的n的最大值为23 D． 10．甲箱中有4个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有3个红球，3个白球和3个黑球，先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以，和表示由甲箱取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B表示由乙箱取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（ ） A．事件B与事件相互独立 B． C． D． 11．已知函数，及其导函数，的定义域均为，若的图象关于直线对称，，，且，则（ ） A．为偶函数 B．的图象关于点对称 C． D． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12．设，则_____． 13．如图所示为函数的图象，是的导函数，和分别为极大值点和极小值点，则不等式的解集为_____． 14．4个半径为1的球两两相切，下面3个上面1个堆放两层摆放在桌上，问上面的球的最高处到桌面的距离为_____，在4个球的中间再放1个小球和4个球都相切，小球的半径为_____． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本大题满分13分） 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调区间． 16．（本大题满分15分） 已知的内角A，B，C所对边的长分别a，b，c，且． （1）若，求A的大小； （2）当A―C取得最大值时，试判断的形状． 17．（本大题满分15分） 如图，在四棱锥中，四边形ABCD是正方形，平面ABCD，，点E，F分别为棱PB，BC的中点． （1）求证：； （2）求平面AEF与平面ECD所成二面角的正弦值． 18．（本大题满分17分） 汉诺塔（Hanoi）游戏是源于印度古老传说的益智游戏，该游戏是一块铜板装置上，有三根杆（编号A、B、C），在A杆自下而上、由大到小按顺序放置若干个金盘（如下图）．游戏的目标：把A杆上的金盘全部移到C杆上，并保持原有顺序叠好．操作规则如下：每次只能移动一个盘子，并且在移动过程中三根杆上都始终保持大盘在下，小盘在上，操作过程中盘子可以置于A、B、C任一杆上．记n个金盘从A杆移动到C杆需要的最少移动次数为． （1）求，，； （2）写出与的关系，并求出． （3）求证： 19．（本大题满分17分） 已知椭圆C：（）的右焦点为，右顶点为A，直线l：与x轴交于点M，且， （1）求C的方程； ... ...