北京师大附中2023—2024学年(下)高二期中考试 数学试卷 班级:_____姓名:_____学号:_____ 考生须知: 1.本试卷有三道大题,共5页.考试时长120分钟,满分150分. 2.考生务必将答案填写在答题卡上,在试卷上作答无效. 3.考试结束后,考生应将答题卡交回. 一 选择题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1.已知为等差数列,且,则( ) A.12 B.9 C.6 D.3 2.函数在处的瞬时变化率为( ) A.2 B. C. D.1 3.的展开式中的系数是( ) A.6 B.-6 C.4 D.-4 4.曲线在点处的切线方程为( ) A. B. C. D. 5.从中选取三个不同的数字组成一个三位数,则不同的三位数有( )个 A.24 B.20 C.18 D.15 6.已知某一离散型随机变量的分布列,且,则的值为( ) 4 9 0.5 0.1 A.5 B.6 C.7 D.8 7.若双曲线的一条渐近线方程为,则双曲线的离心率为( ) A. B. C. D.2 8.已知数列为等比数列,则“”是“为递减数列”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 9.把一枚骰子连续抛掷两次,记事件为“两次所得点数均为奇数”,为“至少有一次点数是5”,则已知事件发生的条件下事件发生的概率( ) A. B. C. D. 10.在数列中,,若存在常数,对任意的,都有成立,则正数的最大值为( ) A. B. C. D. 二 填空题共5小题,每小题5分,共25分. 11.在3名男生和3名女生中任选2人参加一项活动,其中恰好有1名男生的不同的选法种数是_____.(用数字作答) 12.设,则_____;_____. 13.假设某市场供应的智能手机中,市场占有率和优质率的信息如下表所示: 品牌 甲 乙 其他 市场占有率 优质率 在该市场中任意买一部智能手机,则买到的是优质品的概率是_____. 14.对于数列,令.若,则_____;若,则_____. 15.数列满足.给出下列四个结论: ①存在,使得成等差数列; ②存在,使得成等比数列; ③存在常数,使得对任意,都有成等差数列; ④存在正整数,且,使得.其中所有正确结论的序号是_____. 三 解答题共6小题,共85分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 16.(本小题13分) 已知无穷等比数列的各项均为整数,. (1)求的通项公式; (2)令,求数列的前项和,并求出的最小值. 17.(本小题14分) 某超市销售5种不同品牌的牙膏,它们的包装规格均相同,销售价格(元/管)和市场份额(指该品牌牙膏的销售量在超市同类产品中所占比重)如下: 牙膏品牌 销售价格 15 25 5 20 35 市场份额 (1)从这5种不同品牌的牙膏中随机抽取1管,估计其销售价格低于25元的概率; (2)依市场份额进行分层抽样,随机抽取20管牙膏进行质检,其中和共抽取了管. ①求的值; ②从这管牙膏中随机抽取3管进行氟含量检测.记为抽到品牌B的牙膏数量,求的分布列和数学期望. ③品牌的牙膏下月进入该超市销售,定价25元/管,并占有一定市场份额.原有5个品牌的牙膏销售价格不变,所占市场份额之比不变.设本月牙膏的平均销售价为每管元,下月牙膏的平均销售价为每管元,比较的大小.(只需写出结论) 18.(本小题13分) 在平面直角坐标系中,为坐标原点,动点与两个定点的距离之比为. (1)求动点的轨迹的方程; (2)若直线与曲线交于两点,在曲线上是否存在一点,使得,若存在,求出此时直线的斜率;若不存在,说明理由. 19.(本小题15分) 已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程; (2)求曲线的单调增区间; (3)若函数在区间上为单调递增函数,求实数的取值范围; 20.(本小题15分) 已知椭圆的长轴长为4,且经过点. (1)求椭圆的方程及离心率; (2)设陏圆的左顶点为,斜率不为零的直线经过点,且与椭圆相交于,两点,直线与直线相交于点.问:直线是否经过轴上的定点?若过定点,求出该点坐标;若不过 ... ...
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