2024年中考数学热点探究十四 折叠问题

2024年中考数学热点探究十四 折叠问题 一、选择题（每题3分，共30分） 1．（2024·江城模拟）如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，将矩形沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处，若AB＝6，BC＝10，则tan∠EAF的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形 【解析】【解答】解：在矩形ABCD中，CD=AB=6，AD=BC=10，∠C=∠D=90°， 由翻折得：DE=EF，∠AFE=∠D=90°，AF=AD=10， ∴BF==8， ∴FC=CD-DE=2， ∵CE2+CF2=EF2，CE=CD-DE=CD-EF=6-EF， ∴(6-EF)2+22=EF2， 解得EF=， ∴ tan∠EAF=. 故答案为：D. 【分析】由矩形的性质及翻折可得CD=AB=6，AF=AD=BC=10，∠C=∠D=∠AFE=90°，DE=EF，利用勾股定理求出BF=8，即得FC=2，由勾股定理可得CE2+CF2=EF2，即(6-EF)2+22=EF2，求出EF，再利用正切函数定义即可求解. 2．（2020·重庆A）如图，三角形纸片ABC，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着AD翻折，得到△AED，DE与AC交于点G，连接BE交AD于点F.若DG＝GE，AF＝3，BF＝2，△ADG的面积为2，则点F到BC的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题） 【解析】【解答】解：∵DG＝GE， ∴S△ADG＝S△AEG＝2， ∴S△ADE＝4， 由翻折可知，△ADB≌△ADE，BE⊥AD， ∴S△ABD＝S△ADE＝4，∠BFD＝90°， ∴ （AF+DF） BF＝4， ∴ （3+DF） 2＝4， ∴DF＝1， ∴DB＝ ＝ ＝ ， 点F到BD的距离为h，则有 BD h＝ BF DF， ∴h＝ ， 故答案为：B. 【分析】由三角形的中线平分三角形面积可得S△ADE，再又翻折可得S△ABD，由勾股定理可得BD，由面积公式可得 BD h＝ BF DF即可求解. 3．（2024·温州模拟）如图，在矩形中，点为的中点，将沿所在直线翻折压平，得到，延长与交于点，若，，则四边形的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题） 【解析】【解答】解：如图，连接MN， ∵四边形ABCD是矩形，AB=2， ∴∠A=∠B=∠C=90°，AB=CD=2，AD=BC， ∵点M为AB的中点， ∴AM=BM= 　 根据折叠的性质得，AD=A'D，AM=A'M=BM，∠A=∠DA'M=90°， 又MN=MN， ∴Rt△MA'N≌Rt△MBN（HL）， ∴A'N=BN，S△MA'N=S△MBN， ∴四边形A'MBN的面积=2S△MBN， ∵BN=2CN， ∴BN=A'N，AD=BC=3CN， 设CN=x，则AD=A'D=3x， ∴DN=A'D+A'N=5x， 在Rt△DCN中，DN2=CD2+CN2， ∴（5x）2=(2)2+x2， ∴x=±1（负值舍去）， ∴BN=2， ∴S△MBNBM BN×2= ∴四边形A'MBN的面积 　 故答案为：B. 【分析】连接MN，根据矩形的性质得出∠A=∠B=∠C=90°，AB=CD=，AD=BC，则AM=BM=，根据折叠的性质得，AD=A'D，AM=A'M=BM，∠A=∠DA'M=90°，利用HL证明Rt△MA'N≌Rt△MBN，根据全等三角形的性质可以得出A'N=BN，S△MA'N=S△MBN，则四边形A'MBN的面积=2S△MBN，设CN=x，则AD=A'D=3x，DN=A'D+A'N=5x，在Rt△DCN中，根据勾股定理求出x=1，则BN=2，再根据三角形面积公式求解即可． 4．（2024九上·嘉兴期末）如图，是一条弦，将劣弧沿弦翻折，连结并延长交翻折后的弧于点，连结，若，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理的应用；圆周角定理；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质 【解析】【解答】解：如图，延长AO交于点E，过B作BF⊥AE于点F. 劣弧沿AB翻折，得到弧ACB，所以弧ACB所在的圆和是等圆. 又因为和所对的角都是∠BAF， ∴=. ∴BC=BE=1. ∵AE是直径， ∴∠ABE=90°， ∴. ∵BF⊥AE， ∴CF=EF，∠ABE=∠AFB=90°，∠BAF=∠EAB， ∴△ABE∽△AFB， ∴，即 ∴， ∴EF=AE－AF= ∴AC=AE－2EF= 故答案为：C. 【分析】延长AC交于点E，连接BE，过B点作BF⊥AE于F点. 利用折叠的性质可判断BC和BE所在 ... ...