数列中的证明问题 常见考点 考点一 数列通项证明 典例1．已知数列满足﹒ (1)求证数列是等差数列； (2)求的通项公式； (3)试判断是否为数列中的项，并说明理由﹒ 【答案】(1)见解析； (2)； (3)是，理由见解析﹒ 【解析】 【分析】 (1)已知条件两边同时取倒数，构造等差数列求解； (2)根据(1)中构造的等差数列即可求通项公式； (3)令通项等于，解出n，如果n为正整数，则是该数列的项，否则不是﹒ (1) 由题可得， ∴是以3为首项，3为公差的等差数列； (2) 由(1)得，， ∴； (3) 令，解得，故是为数列中的项﹒ 变式1-1．已知数列中，，，. (1)设，求证是等差数列； (2)求的通项. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】 【分析】 （1）式子变形后，可知是首项，公差为1的等差数列. （2）利用累加法和错位相减法即可得出结论. (1) 解：由已知可得： 即 即， 所以是首项，公差为1的等差数列. (2) 由（1）知 则 得到 ①， ② ，得. 变式1-2．已知数列满足：，且，其中; （1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； （2）设，为数列的前项和，求. 【答案】（1）证明见解析，；（2）. 【解析】 【分析】 （1）由题设递推式得，根据等比数列的定义即可证结论，进而写出的通项公式； （2）由（1）得，应用裂项相消法求即可. 【详解】 （1）由题设，，而， ∴是首项、公比均为2的等比数列，故，即. （2）由（1）知：， ∴. 变式1-3．已知数列满足，. （1）求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1）证明见解析，；（2）. 【解析】 【分析】 （1）由已知递推关系可得，结合等比数列的定义即可证结论，进而可得，写出通项公式即可. （2）应用错位相减法即可求的前项和. 【详解】 （1）证明：∵，， ∴，，又， ∴，故数列为首项为1，公比为的等比数列， ∴，故. （2）∵①， ∴②， ① ②式错位相减得：， ∴. 考点二 数列求和证明（先求和再放缩） 典例2．已知数列的前项和为. 从下面①②③中选择其中一个作为条件解答试题，若选择不同条件分别解答，则按第一个解答计分. ①数列是等比数列，，且，，成等差数列； ②数列是递增的等比数列，，； ③. (1)求数列的通项公式； (2)已知数列的前项的和为，且.证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【解析】 【分析】 （1）若选①：根据等比数列基本量的计算，求出首项及公比即可求解； 若选②：根据等比数列的性质有，结合已知求出即可得公比，从而可得答案； 若选③：由，将已知再写一式，然后两式相减可得，最后根据等比数列的定义即可求解； （2）由（1）根据对数的运算性质求出，然后利用裂项相消求和法求出即可证明. (1) 解：若选①：因为数列是等比数列，设公比为，，且，，成等差数列， 所以，解得，所以； 若选②：因为数列是递增的等比数列，，， 所以，所以，， 所以； 若选③：因为，所以， 两式相减可得，即，又时，， 所以， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以； (2) 证明：由（1）知， 所以， 因为，所以，即. 变式2-1．已知数列满足，. (1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)令，数列的前项和为，证明：对于任意的，都有. 【答案】(1)证明见解析；； (2)证明见解析. 【解析】 【分析】 （1）由递推关系式可得，由此证得结论；利用等差数列通项公式可求得，进而得到； （2）由（1）可得，采用裂项相消法可求得，结合，可证得结论. (1) 由得：，又， 数列是以为首项，为公差的等差数列，， ； (2) 由（1）得：， ， ，，. 变式2-2．已知数列为等差数列，是数列的前项和，且，，数列满足. (1)求数列、的通项公式； (2)令，证明：. 【答案】(1)，. (2)证明见解析. 【解析】 【分析】 （1）利用等差数列基本量代换求出 ... ...
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