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课件网) R·九年级数学上册 第二十四章 圆 第3课时 切线长定理 1.知道切线长的概念，三角形的内切圆、内心的概念. 2.探索切线长定理，并会利用切线长定理解决问题. 3.会画出三角形的内切圆，会利用三角形内心的性质解决问题. 学习目标 知识回顾 1.圆的切线的性质是什么？ 2.圆的切线的判定方法有几种？ （1）定义法 （2）数量关系法 （3）切线的判定定理 过半径的外端点 垂直于半径 新课导入 如图，圆外一点P，如何过点P画出⊙O的切线，这样的切线你能画出几条？ O P A B 两条 O P A B 切线长的概念：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长. 线段PA，PB的长则为点P到⊙O的切线长. 思考：切线和切线长这两个概念有何区别？ 如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B.在半透明纸上画出这个图形，沿着直线PO将图形对折，图中的PA与PB，∠APO与∠BPO有什么关系？ O P A B 新知探究 知识点1 切线长定理 发现：①PA=PB ②PO平分∠APB O P A B 证明：如图，连接OA和OB. ∵PA和PB是⊙O的两条切线， ∴OA⊥AP，OB⊥BP. 又OA=OB，OP=OP. ∴Rt△AOP≌Rt△BOP. ∴PA=PB，∠APO=∠BPO 请证明你所发现的结论. PA，PB分别切⊙O于A，B PA = PB ∠OPA=∠OPB 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 几何语言: 切线长定理为证明线段相等、角相等提供新的方法. 切线长定理 O P A B 探究：PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，直线OP交于⊙O于点D、E，交AB于C. （1）写出图中所有的垂直关系； OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP （3）写出图中所有的全等三角形； △AOP≌ △BOP， △AOC≌ △BOC， △ACP≌ △BCP （4）写出图中所有的等腰三角形； △ABP △AOB （2）写出图中与∠OAC相等的角和图中相等的线段； ∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC，OA=OB=OD=OE,PA=PB,AC=BC. O B A P E C D 切线长定理运用的基本模型： （1）分别连接圆心和切点 （2）连接两切点 （3）连接圆心和圆外一点 O B A P 切线的性质： 1.圆的切线和圆只有一个公共点. 2.圆心到切线的距离等于半径. 3.圆的切线垂直于过切点的半径. 4.经过圆心且垂直于切线的直线必过切点. 5.经过切点且垂直于切线的直线必过圆心. 6.从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角. 思考：如图，一张三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的用料，并且使圆的面积尽可能大呢 知识点2 三角形的内切圆 A B C 如何作圆，使它和已知三角形的各边都相切？ 已知：△ABC. 求作：和△ABC的各边都相切的圆. 作法： 1.作∠B和∠C的平分线BM和CN，交点为O. 2.过点O作OD⊥BC.垂足为D. 3.以O为圆心，OD为半径作圆O. ⊙O就是所求的圆. O D ． o 1.与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 2.三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心. 3.这个三角形叫做圆的外切三角形. 4.三角形的内心就是三角形的三个内角角平分线的交点. A B C 内切圆 内心 外切三角形 →三角形角平分线的交点 到三角形三边的距离相等 ↓ 名称 外心 内心 图形 性质 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等 三角形的内心到三角形三条边的距离相等 位置 外心不一定在三角形内部 内心一定在三角形内部 角度关系 ∠BOC=2∠A ∠BOC=90°+ ∠A 三角形外心、内心的区别： 例2 如图， △ABC的内切圆⊙O与BC，CA， AB 分别相交于点D ， E ， F ，且AB＝9，BC ＝14， CA ＝13，求AF，BD，CE的长. A E C D B F 解：设AF=x,则AE=x, CD=CE=AC-AE=13-x, BD=BF=AB-AF=9-x. 由BD+CD=BC,可得 (13-x)+(9-x)=14.解得，x=4. 因此，AF=4，BD=5，CE=9. 随堂练习 1.如图，△ABC的内切圆⊙O ... ...
