《2.2.3 向量的数乘运算》教学设计 学习目标 知识 能力与素养 掌握数乘运算的定义，会用相应的运算法则，向量平行的充要条件. 体会数形结合、分类讨论等数学思想，进一步培养学生归纳、类比、迁移能力，增加学生的数学应用意识和创新意识． 学习重难点 重点 难点 向量数乘运算及其几何意义 向量平行的充要条件 教材分析 向量数乘运算是继向量的加法、向量的减法运算之后的又一重要运算，也是高中数学的一个重要概念，另外本节的向量共线定理是用法较多的一个定理. 学情分析 学生已经在前边学习了向量的加法、减法运算，对几何方法也有了一定的认识，但学生学习的自主性较差，学习有依赖性，且学习的信心不足，要鼓励学生积极参与研究，主动去发现问题与解决问题． 教学工具 教学课件 课时安排 1课时 教学过程 （一）创设情境，生成问题 情境与问题 ． 在2004年奥运会上,刘翔以12.91s的成绩获得男子 110m跨栏比赛冠军,成为第一个获得径赛直道项目冠军的亚洲人.男子110m跨栏,从第1栏到第9栏,每相邻两栏之间间隔9.14m.记第1栏到第2栏的位移为s1,第1栏到第3栏的位移为s2,……,从第1栏到第9栏的位移为s8,如图所示.试问,位移s1,s2,…,s8,具有怎样的关系？ 容易看出，位移s1、s2的方向相同，它们的模满足| s2|=2| s1|因此，位移s2是位移s1与位移s1的和，即s2= s1+ s1.沿用运算习惯，即为 s2=2 s1，类似地，可以得到，s3=3 s1，…，s8=8 s1. 【设计意图】借助实例说明向量数乘运算，渗透课程思政教育. （二）调动思维，探究新知 一般地，实数λ与向量a的乘积仍是一个向量,记作λa. λa的模为|λa|= |λ||a|. 当λ>0时, λa的方向与a的方向相同； 当λ<0时, λa的方向与a的方向相反； 当λ=0时,因为 λa=0,所以其方向是任意的. 求一个数λ与向量a的乘法运算称为数与向量的乘法运算,简称数乘运算. 上述定义表明,当 λ>0时,向量λa可以看作由向量a伸长或缩短λ倍得到；当 λ<0时,向量 λa可以看作由向量 a 伸长或缩短|λ|倍得到. 这是向量数乘运算的几何意义． 容易验证,对于任意向量a、b及任意实数 λ、μ,向量的数乘运算满足以下法则: (λμ) a=λ(μa)= μ (λa) (λ+μ) a=λa +μa λ(a+b)= λa+λb 可以看出,向量λa与向量a平行.反之,若有一个向量b与向量a(a≠0)平行,则向量b与a的关系如下： b=0时，b=0a； 当b与a方向相同时，记λ=，则有b=λa; 当b与a方向相反时，记λ=-，则有b=λa. 因此当a≠0时，a∥b存在实数λ，使得b=λa. 【设计意图】求λ的过程中可以帮助学生理解向量平行的充要条件. （三）巩固知识，典例练习 【典例1】计算： （1） （2） （3） 解: （1） （2） （3） 【典例2】如图所示,O为 ABCD两条对角线的交点, 试用向量a、b表示向量. 解: 根据向量的加法、减法法则,可得 由于O为 ABCD两条对角线的交点，可知， 于是有 【设计意图】例1帮助学生体会数与向量的乘法运算和数与字母乘法运算的类似性，例2加深对向量运算法则及其几何意义的理解，也为线性表示做准备. （四）巩固练习，提升素养 【巩固】在平行四边形ABCD中，O为两对角线交点如图，＝a ，＝b，试用a, b表示向量、 分析 因为,，所以需要首先分别求出向量与. 解 ＝a＋b,＝b a， 因为O分别为AC，BD的中点，所以 （a＋b）＝a＋b， ＝＝（b a）＝ a+b． 【设计意图】通过练习及时掌握学生的知识掌握情况，查漏补缺 一般地，若向量c=λa+μb(λ、μ均为实数),则称向量c可以由向量a、b线性表示. 如例2中，向量可以由向量a, b线性表示为 （五）巩固练习，提升素养 1. 计算： （1） （2） （3） 2．根据已知条件，试用向量a表示向量b. 如图所示，向量a、b不共线，画出有向线段，使 4. 如图所示， ABCD两条对角线的交点为M，＝a ，＝b，试用向量a、b分别表示向量 5 ... ...
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