(课件网) 第2章 四边形 2.6 菱 形 2.6.2 菱形的性质 学习目标 1．探索并证明菱形的判定定理： 四条边都相等的四边形是菱形，对角线互相垂直的四边形是菱形. 2．会运用菱形的判定定理判定一个四边形是否为菱形. 学习重点、难点 菱形的判定定理及其应用. 重点： 难点： 菱形判定定理的探索与证明. 知识回顾 一组邻边相等 有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形 平行四边形 菱形的性质 菱形 两组对边平行 四条边相等 两组对角分别相等 邻角互补 两条对角线互相垂直平分 每一条对角线平分一组对角 边 角 对角线 问题 菱形的定义是什么？性质有哪些？ 根据菱形的定义，可得菱形的第一个判定的方法： AB = AD， ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴四边形 ABCD 是菱形. 应用： 有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形. A B C D 思考 还有其他的判定方法吗？ 课时导入 作法：分别以 A、C 为圆心，以大于 AC 的长为半径作弧，两条弧分别相交于点 B ， D，依次连接 A、B、C、D 四点. 已知线段 AC，你能用尺规作图的方法作一个菱形 ABCD，使 AC 为菱形的一条对角线吗？ C A B D 想一想：根据作法你有什么猜想？你能验证作法的正确性吗？ 猜想：四条边相等的四边形是菱形. 证明猜想 证明：∵AB = BC = CD = AD， ∴AB = CD ， BC = AD. ∴四边形 ABCD 是平行四边形. 又∵AB = BC， ∴四边形 ABCD 是菱形. A B C D 已知：如图，四边形 ABCD 中，AB = BC = CD = AD. 求证：四边形 ABCD 是菱形. 知识讲解 菱形的判定定理1： 四条边都相等的四边形是菱形. 应用： ∵在四边形 ABCD 中， AB = BC = CD = AD， ∴四边形 ABCD 是菱形. 四边形 ABCD A B C D AB = BC = CD = AD A B C D 菱形 ABCD 证明： ∵ ∠1 = ∠2， 又∵AE = AC，AD = AD， ∴ △ACD≌△AED (SAS). 同理△ACF≌△AEF(SAS) . ∴CD = ED，CF = EF. 又∵EF = ED，∴CD = ED = CF = EF， ∴四边形 CDEF 是菱形. 2 如图，在△ABC 中， AD 是角平分线，点 E、F 分别在 AB、 AD 上，且 AE = AC，EF = ED. 求证：四边形 CDEF 是菱形. A C B E D F 1 例1 动脑筋 在学平行四边形的时候我们知道把两张等宽的纸条交叉重叠在一起得到的四边形是平行四边形，你能进一步判断重叠部分 ABCD 的形状吗？ A C D B 分析：易知四边形 ABCD 是平行四边形，只需证一组邻边相等或对角线互相垂直即可进一步判断. 由题意可知 BC 边上的高和CD 边上的高相等， 然后通过证 △ABE≌△ADF，即得 AB = AD. 请同学们自行证明. E F 猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 你能证明这一猜想吗？ 前面我们用一长一短两根细木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可以转动的十字，四周围上一根橡皮筋，做成一个平行四边形. 那么转动木条，这个平行四边形什么时候变成菱形 对此你有什么猜想？ 证明猜想 A B C O D 已知：如图，四边形 ABCD 是平行四边形，对角线AC 与 BD 相交于点 O ，AC⊥BD. 求证：□ABCD 是菱形. 证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形. ∴OA = OC. 又∵AC⊥BD， ∴BD 是线段 AC 的垂直平分线. ∴BA = BC. ∴四边形 ABCD 是菱形（菱形的定义）. 知识讲解 菱形的判定定理2： 对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 应用： ∵在□ABCD中，AC⊥BD， ∴ □ABCD 是菱形. A B C D □ABCD AC⊥BD A B C D 菱形 ABCD 例2 如图， ABCD 的两条对角线 AC、BD 相交于点 O，AB = 5，AO = 4，BO = 3. 求证：四边形 ABCD 是菱形. A B C D O 又∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∵ OA = 4，OB = 3，AB = 5， 证明： 即 AC⊥BD. ∴ AB2 = OA2 + OB2. ∴△AOB 是直角三角形， ∴四边形 ABCD 是菱形. 随 堂 小 测 1.下列命题中正确的是 （ ） A. 一组邻边相等的四边形 ... ...
