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课件网) 第16章 二次根式 16.1 二次根式 学习目标 学习重难点 难点 重点 1.掌握二次根式有意义的条件. 2.理解并掌握二次根式的基本性质. 1.了解二次根式的概念，会判断一个式子是否为二次根式. 2.理解并掌握二次根式有意义的条件，会求被开方数中所含字母的取值范围. 3.理解并掌握二次根式的基本性质 和 会运用二次根式的两个性质进行化简计算. 情景导入 思考 用带根号的式子填空，这些结果有什么特点？ (1)面积为3的正方形边长为_____；若面积为S ，则边长为_____． (2)一个长方形的围栏，若长是宽的2倍，面积为130m2，则它的宽为_____m． (3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满足关系 h =5t2，如果用含有 h 的式子表示 t ，那么 t 为_____． （1）这些式子分别表示什么意义？ 分别表示3，S，65， 的算术平方根． 上面问题中，得到的结果分别是： ， ， ， ． （2）这些式子有什么共同特征？ ①根指数都为2; ②被开方数为非负数. 知识讲解 知识点1 二次根式的概念 一般地，我们把形如 （a≥0）的式子叫做二次根式. “ ”称为二次根号. 注意：a可以是数，也可以是式. 中一般把根的指数2省略，写成 解读 被开方数可以是非负数或单项式、多项式、分式等 两个要素 ①形式上含有“ ” ②被开方数a ≥ 0 知识点2 二次根式有意义的条件 1．二次根式有意义的条件是被开方数(式)为非负数；反之也成立， 即： 有意义 a≥0. 2．二次根式无意义的条件是被开方数(式)为负数；反之也成立， 即： 无意义 a＜0. 解读 式子 只有在条件a≥0时才叫二次根式．即a≥0是 为二次根式的前提条件. 探究1 根据算术平方根及平方的的意义填空，你发现了什么？ 0 2 4 算数平方根 0 2 … … 平方运算 … 0 2 4 观察两者有什么关系？ 知识点3 的性质 4 2 0 探究2 根据探究1直接写出结果，然后根据探究1的探究过程说明理由 是2的算术平方根，根据算术平方根的意义， 是一个平方等于2的非负数.因此 . 同理， 分别是0,4， 的算术平方根，即得上面的等式. 的性质： 一般地， ＝a (a ≥0). 即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身. 注意：不要忽略a≥0这一限制条件.这是使二次根式 有意义的前提条件. 总结 知识点4 的性质 填一填 2 0.1 0 算数平方根 4 … … 平方运算 … 2 0.1 观察两者有什么关系？ 0 0 ( a≤0 ). 当a≥0时， 等于什么？若a的值无限定， 又等于什么？ 思考： 2 0.1 0 填空： 归纳：由此可以看出： ( a≥0 ). a = 3 －a 即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身的绝对值. 总结 的性质： a (a≥0) －a (a＜0) 解： (1)(4)(6)均是二次根式，其中a2+1属于“非负数+正数”的形式一定大于零. (3)(5)(7)均不是二次根式. 是否含二次根号 被开方数是不是非负数 二次根式 不是二次根式 是 是 否 否 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？ 分析 例1 总结 二次根式的识别方法： 判断一个式子是否为二次根式，一定要紧扣二次根式的定义，看所给的式子是否同时具备二次根式的两个特征： (1)含根号且根指数为2(通常省略不写)； (2)被开方数(式)为非负数． 注意 二次根式是在初始的外在形式上定义的，不能从化简结果上判断，如是二次根式.像+1（a≥0）这样的式子只能称为含有二次根式的式子，不能称为二次根式. 例2 当x是怎样的实数时, 在实数范围内有意义 解：由 x-2 ≥ 0，得 x ≥ 2. 当x ≥ 2时， 在实数范围内有意义. 变式 当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ 解：（1）由题意得x－1＞0， ∴ x＞1. （2）∵被开方数需大于或等于零，∴x+3≥0，∴x≥－3. ∵分母不能等于零，∴x－1≠0，∴x≠1. ∴x≥－3 且x≠1. 归纳 要 ... ...
