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课件网) 第八章 整式乘法与因式分解 8.3 完全平方公式与平方差公式 8.3.1 完全平方公式 学习目标 1.能根据多项式的乘法推导出完全平方公式.（重点） 2.理解并掌握完全平方公式，并能进行计算.（重点、难点） 知识回顾 (1)a 表示的意义是： (2)(a+b) 表示的意义是： a 表示两个a相乘. (a+b) 表示两个(a+b)相乘. 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加. 多项式与多项式的乘法法则 新课引入 观察下列算式及其运算结果，你发现了什么规律 发现：两数和的平方，等于它们的平方和加上它们的积的2倍. 6m=2×m×3 (2+3x)2=(2+3x)(2+3x) =22+2×3x+2×3x+9x2 =4+12x+9x . (m+3)2=(m+3)(m+3) =m2+3m+3m+9 =m2+6m+9; 12x=2×2×3x 新课讲授 完全平方公式用语言叙述是：两个数的和（或差）的平方，等于这两个数的平方和加（或减）这两个数乘积的2倍． 由多项式乘法可得乘法公式 (a+b) =a +2ab+b . (a-b) =a -2ab+b . 左侧两个公式，可以直接应用于运算，称为完全平方公式. 新课讲授 由多项式乘法可得乘法公式 请注意： 公式中的a，b既可代表单项式，还可代表具体的数或多项式. (a+b) =a +2ab+b . (a-b) =a -2ab+b . 另外，在公式(a+b) =a +2ab+b 中用-b代替b， 可得[a+(-b)] =a +2a·(-b)+(-b) , 即(a-b) =a -2ab+b . 想一想 怎么用下图解释公式(a+b) =a +2ab+b ？ a a b b ① ② ③ ③ 显然大正方形的面积为(a+b)2. 大正方形的面积还等于四个小图形的面积和. ①号正方形的面积为a2； ②号正方形的面积为b2; ③号长方形的面积均为ab. 想一想 怎么用下图解释公式(a+b) =a +2ab+b ？ a a b b = + + + a2 ab ab b2 (a + b)2 = . a2 + 2ab + b2 和的完全平方公式： 图中大正方形的面积为a2； 图中两个绿色长方形的面积均为ab； 图中蓝色正方形的面积为b2; 因此红色正方形的面积=大正方形的面积-2个绿色长方形的面积+蓝色正方形的面积，即(a-b) =a -2ab+b . 怎么用下图解释公式(a-b) =a -2ab+b ？ 图中红色正方形的面积为(a-b)2； 想一想 教材例题 例 利用乘法公式计算: （1）（2x+y） ； （2）（3a-2b） . 解:运用公式计算，要先识别a,b在具体式子中分别表示什么. (1)（2x+y） =(2x) +2·(2x)y+y =4x +4xy+y . (a + b) = a + 2 a b + b (2)（3a-2b) =(3a) +2·(3a)(2b)+(2b) =9a -12ab+4b . (a - b) = a - 2 a b + b 例题解读 例1 用完全平方公式计算: (1)(2x-3)2; (2)(4x+5y)2; (3)(m-a) . 解：(1)(2x-3)(2x-3) =4x -6x-6x+9 =4x -12x+9. (2)(4x+5y)(4x+5y) =16x +20xy+20xy+25y =16x +40xy+25y . (3)()() = = . 例题解读 例2.若x2+(m-3)x+16是完全平方式,则m的值为( ) A.11或-7 B.13或-7 C.11或-5 D.13或-5 解析：x2+(m-3)x+16可以写成x2+(m-3)x+4 或x2+(m-3)x+(-4) 的形式. 若x2+(m-3)x+4 是完全平方式， 则(m-3)x=2×x×4=8x,所以m=11; 若x2+(m-3)x+(-4) 是完全平方式， 则(m-3)x=2×x×(-4)=-8x,所以m=-5. 因此，m的值可能为11或-5. C 例题解读 例3.一个正方形的边长增加3 cm,它的面积就增加99 cm2,这个正方形的边长为 . 解析：不妨设这个正方形的边长为x cm, 则增加3 cm后边长为(x+3)cm, 所以正方形的面积增加99 cm ， 可列方程为(x+3) -x =99. 从而解得x=15. 15 cm 例题解读 例4.利用完全平方公式计算: (1)1022; (2)1972. (2)1972 =(200-3)2 =2002-2×200×3+32 =40 000-1 200+9 =38 809. 解：(1)1022 =(100+2)2 =1002+2×100×2+22 =10000+400+4 =10 404. 例题解读 例5 计算：(x + y + z)2. 解：原式 = [x + (y + z)]2 = x2 + 2x(y + z) + (y + z)2 = x2 + 2xy + 2xz + y2 + 2yz + z2 = x2 + y2 ... ...
