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课件网) 第八章 整式乘法与因式分解 8.3 完全平方公式与平方差公式 8.3.2 平方差公式 学习目标 1.掌握平方差公式的推导和运用，并理解平方差公式的几何背景.(重点) 2.掌握平方差公式的应用．(重点、难点) 知识回顾 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加. 1.多项式与多项式的乘法法则 (a+b) =a +2ab+b . (a-b) =a -2ab+b . 2.完全平方公式 情境导入 有一个狡猾的庄园主,把一边长为x米的正方形土地租给王大爷种植.有一年他对王大爷说:“我把这块地的一边增加5米,另一边减少5米,继续租给你,你也没吃亏,你看如何 ”王大爷一听觉得没有吃亏,就答应了.回到家中,就把这件事对邻居讲了,邻居一听,说:“王大爷您吃亏了!”王大爷非常吃惊,同学们,王大爷有没有吃亏？你能告诉王大爷这是为什么吗 x 米 原来 x2 (x-5)米 (x+5)米 现在 相等吗？ 思 考 1.由多项式乘法计算： (1)(3m+1)(3m-1); (2)(x +y)(x -y). 解：(1)(3m+1)(3m-1) =3m·3m-3m+3m-1 =9m -1 (2)(x +y)(x -y) =x ·x -x ·y+y·x -y·y =x4-y2 2.你能得到(a+b)(a-b)的计算公式吗？ (a+b)(a-b)=a·a-a·b+b·a-b·b =a2-b2 知识要点 (a+b)(a-b)=a -b . 这个公式称为平方差公式. 请注意： 公式中的a，b既可代表单项式，还可代表具体的数或多项式. 用语言表述为：两数和与这两数差的积，等于它们的平方差． 知识要点 (a＋b) (a－b) = a2－b2 左边 两个数的和乘这两个数 的差. 右边 这两数的平方差. 即两个二项式中有两项相等，另两项是互为相反数. 即相等数的平方 减去互为相反数 的数的平方. (1+2x) (1－2x) = 12－(2x)2 注意加上括号！ 平方差公式的特点： 思 考 你能用图形来说明(a+b)(a-b)=a -b 吗？ a a b b a2 - b2 a b b b (a + b)(a - b) (a + b)(a - b) = a2 - b2 a - b a - b 情境导入 x 米 原来 x2 (x-5)米 (x+5)米 现在 相等吗？ 不相等. 因为(x+5)(x－5)=x －25， 所以可知(x+5)(x－5)＜x . 所以王大爷吃亏了. 教材例题 例1 利用乘法公式计算: （1）1 999×2 001； （2）(x+3)(x-3)(x +9). 解：(1)1 999×2 001 =(2 000-1)×(2 000+1) =2 0002-12 =3 999 999. (2)(x+3)(x-3)(x +9) =(x -9)(x +9) =x4-81. 教材例题 例2 计算: （1）(a+b+c) ； （2）(a-b) . 解：(a+b+c) = [(a+b)+c]2 = (a+b)2+2(a+b)c+c2 = a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc. 解：(a-b) = (a-b)(a-b) = (a-b)( a2－2ab + b2) = a －2a2b+ab2－a2b+2ab －b3 =a －3a2b+3ab －b3. 思 考 (a-b)(-a-b)等于什么？ 解:(a-b)(-a-b)可以看做是[(-b)+a][(-b)-a]， 这样就转化为可以运用平方差公式的形式. 所以(a-b)(-a-b)=[(-b)+a][(-b)-a]=(-b) -a =b -a . 例题解读 例1 利用平方差公式计算: (1)(5+6x)(5-6x); (2)(x-2y)(x+2y); (3)(-m+n)(-m-n). 解：(1)(5+6x)(5-6x) =25-30x+30x-36x =25-36x . (2)(x-2y)(x+2y) =x +2xy-2xy-4y =x -4y . 注意(3)中，在运用平方差公式时，要把(-m)要看作一个整体，不要漏掉“-”. (3)(-m+n)(-m-n) =m +mn-mn-n =m -n . (2)(3x+2y)(9x2+4y2)(3x-2y) =(3x+2y)(3x-2y)(9x2+4y2) =[(3x)2-(2y)2](9x2+4y2) =(9x2-4y2)(9x2+4y2) =(9x2)2-(4y2)2=81x4-16y4. 解：(1)()()(x2+1) =[() -1](x2+1) =(x2-1)(x2+1) =(x2) -1=x4-1. 例题解读 例2 计算： (1)()()(x2+1); (2)(3x+2y)(9x2+4y2)(3x-2y). 计算结果一定要算到最后，注意连续运用平方差公式. 例题解读 例3 用平方差公式进行计算: (1)103×97 (2)118×122 解：原式=(100+3)(100-3) =100 -3 =9 991. 解：原式=(120-2)(120+2) =120 -2 =14 396. 计算前观察是否满足平方差公式的特点 ... ...
