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课件网) 第4章 锐角三角函数 4.2 正切 学习目标 1.会利用相似直角三角形，探索并认识正切的定义.会求锐角的正切值. 2.会求特殊角30°，45°，60°的正切值并熟记这些值. 3.会用计算器求锐角的正切值以及已知正切值求对应锐角. 复习回顾 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， 正弦：sin A==， 余弦：cos A==. sin 30°= sin 45°= sin 60°= cos 30°= cos 45°= cos 60°= 特殊角的正弦、余弦函数值 我们已经知道，在直角三角形中，当一个锐角的大小确定时，那么不管这个三角形 的大小如何，这个锐角的对边（或邻边）与斜边的比值也就确定（是一个常数）.那么 这个锐角的对边与邻边的比值是否也是一个常数呢？ 新课导入 知识讲解 知识点1 正弦 探究：如图，△ABC和△DEF都是直角三角形，其中∠A=∠D=α，∠C=∠F=90°，则=成立吗？为什么？ 解：成立.理由：因为∠A=∠D，∠C=∠F， 所以Rt△ABCRt△DEF. 所以=. A B C D E F α α 由此可得，在有一个锐角等于α的所有直角三角形中，角α的对边与邻边的比值是一个 常数，与直角三角形的大小无关. 如图，在直角三角形中，我们把锐角α的对边与邻边的比叫作角α的正切，记作tan α， 即tan α= α 邻边 对边 tan30°= tan 45°= tan 60°= 我们该如何计算特殊角的正切值？可以类比前面的特殊角的正弦、余弦的方法，构造直角三角形. 思考: 构造一个Rt△ACB ，使∠C=90°，∠A=30°. 于是BC=AB,∠B=60°. 从而AC2=AB2-BC2=（2BC）2-BC2=3BC2， 因此得AC=BC. 因此tan 30°==，tan 60°==， 同理可以求tan 45°. 特殊角的三角函数值 典例精析 例1：如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，求sinA,cosA,sinB,cosB,tanA和tanB 的值． A B C 15 9 解析：先求出AC长，再根据定义即可求锐角三角函数值. A B C 15 9 解：在Rt△ABC中，由勾股定理得AC= sin A==,cos A= = . sin B=,cos B=. tan A=,tan B=. 例2 计算：tan 45°+tan230°·tan260°. 解：原式=1+（）2·（ 知识点2 用计算器求锐角的正切值或根据正切值求角 对于一般锐角 α（30°，45°，60°除外）的正切值，我们也可用计算器来求. 例如求 25° 角的正切值，可以在计算器上依次按键 ，显示结果为 0.6427…. 如果已知正切值，我们也可以利用计算器求出它的对应锐角. 例如，已知 tan α = 0.8391，依次按键 ，显示结果为40.000…，表示角 α 约等于40°. 结论：对于锐角A的每一个确定的值，sinA，cosA，tanA都有唯一的确定的值与它对应，所以把锐角A的正弦、余弦、正切叫做∠A的锐角三角函数. 随 堂 小 测 (1)在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，BC = 5， AC = 12，tan A = ( ). (2)在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，BC = 5， AB = 13，tan A = ( )，tan B = ( ). (3)在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，BC = 5，tan A = ， AC = ( ). 1.完成下列填空： B C A 2.如图，在边长为 1 的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点均在格点上，则 tan A = ( ) A. B. C. D. D 这个图呢？ 3.如图，P 是∠α 的边 OA 上一点，点 P 的坐标为(12,5),则tan α=_____. M 记得构造直角三角形哦！ 4.在等腰△ABC中，AB = AC = 13，BC = 10，求 tan B. 提示：过点 A 作 AD 垂直于 BC 于点 D. 求锐角三角函数时，勾股定理的运用是很重要的. A C B ┌ D 解：如图，过点 A 作 AD⊥BC 交 BC 于点 D， ∴在 Rt△ABD 中， 易知 BD = 5，AD = 12. ∴tan B==. 5.在 Rt△ABC 中，∠C = 90°， AB = 15，tan A =，求 AC 和 BC. 4k ∴ BC = 3k = 3×3 = 9，AC = 4k = 4×3 = 12. ┌ A C B 15 解：如图， ∴设 BC = 3k，AC = 4k. 小结 正切 正切的概念：在直角三角形中，锐角 α 的对边与邻边的比叫作角 α 的 ... ...
