2023-2024学年江苏省常州一中高二（下）期中数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知，，且，则的值为( ) A. B. C. D. 2.已知向量，则下列向量中与成夹角的是( ) A. B. C. D. 3.在函数，，，中，导函数值不可能取到的是( ) A. B. C. D. 4.在空间四边形中，( ) A. B. C. D. 不确定 5.当时，函数取得最大值，则( ) A. B. C. D. 6.如图，在平行六面体中，，，，，，则的长为( ) A. B. C. D. 7.已知是定义在上的奇函数，的导函数为，若恒成立，则的解集为( ) A. B. C. D. 8.如图，在正方体中，点为线段的中点设点在线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.设空间两个单位向量与向量的夹角都等于，则( ) A. B. C. D. 10.已知，下列说法正确的是( ) A. 在处的切线方程为 B. 单调递减区间为 C. 的极小值为 D. 方程有两个不同的解 11.材料：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，在现行的高等数学与数学分析教材中，对“初等函数”给出了确切的定义，即由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算及有限次的复合步骤所构成的，且能用一个式子表示的，如函数，我们可以作变形：，所以可看作是由函数和复合而成的，即为初等函数根据以上材料，对于初等函数的说法正确的是( ) A. 无极小值 B. 有极小值 C. 无极大值 D. 有极大值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知向量，则 _____． 13.在中国古代数学著作九章算术中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上、下底面平行，且均为扇环形扇环是指圆环被扇形截得的部分现有一个如图所示的曲池，它的高为，，，，均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为和，对应的圆心角为，则图中异面直线与所成角的余弦值为_____． 14.若关于的不等式在内有解，则实数的取值范围是_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知函数，在时取得极小值． 求函数的解析式； 求函数在区间上的最值． 16.本小题分 如图，直三棱柱内接于圆柱，为圆柱底面的直径，，为中点，为中点． 求直线与平面所成角的正弦值； 若求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 17.本小题分 已知函数． 若为常数，求曲线在点处的切线方程； 讨论函数的单调性； 判断与的大小关系，并说明理由． 18.本小题分 如图所示，在四棱锥中，侧面平面，是边长为的等边三角形，底面为直角梯形，其中，，． 取线段中点连接，判断直线与平面是否平行并说明理由； 求到平面的距离； 线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 19.本小题分 已知函数，，，均为实数，为的导函数． 当，，时，求函数的单调区间； 当，时，若函数与直线在上有两个不同的交点，求实数的取值范围； 当，时，已知，，若存在，使得成立，求：． 答案和解析 1.【答案】 【解析】解：已知，， 所以， 由于， 所以，解得． 故选：． 直接利用向量垂直的充要条件求出结果． 本题考查的知识点：向量的坐标运算，向量的垂直的充要条件，主要考查学生的运算能力，属于基础题． 2.【答案】 【解析】解：不妨设向量为， 对于，若，则，不满足条件； 对于，若，则，满足条件； 对于，若，则，不满足条件； 对于，若，则，不满足条件． 故选：． 根据空间向量数量积的坐标公式，即可得到结论． 本题主要考查了空间向量的数量积的计算，根据向量的坐标公式是解决本题的关键，属于基础题． 3.【答案】 【解析】解：根据题意，依次分析选项： 对于，， ... ...
