【精品解析】2024年中考数学精选压轴题之相似三角形

2024年中考数学精选压轴题之相似三角形 一、选择题 1．（2024·浙江模拟）如图，在平面直角坐标系中，点，将线段AB平移得到线段DC．若，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】坐标与图形性质；相似三角形的判定与性质 【解析】【解答】解：过D作轴于E， ∵， ∴， ∵将线段平移得到线段， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， 故答案为：D． 【分析】过D作轴于点E，由可得，根据平移的性质证明四边形是矩形，可得；然后再证明，利用相似三角形的性质求出，进而求出即可． 2．（2024·珠海模拟）如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG=GC；③AG//CF；④S△FGC=3．其中正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】平行线的判定；直角三角形全等的判定（HL）；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质 【解析】【解答】解：①∵AB=AD=AF，AG=AG，∠B=∠AFG=∠AFE=90°， ∴△ABG≌△AFG，故①正确； ②∵EF=DE=CD=2， ∴CE=CD-DE=4， ∵△ABG≌△AFG， ∴BG=FG， 设BG=FG=x，则CG=6﹣x． 在直角△ECG中，根据勾股定理，得（6﹣x）2+42=（x+2）2， 解得x=3． 所以BG=3=6﹣3=GC，故②正确； ③∵CG=BG=GF， ∴△FGC是等腰三角形，∠GFC=∠GCF． 又∠AGB=∠AGF，∠AGB+∠AGF=180°﹣∠FGC=∠GFC+∠GCF， ∴∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF， ∴AG//CF，故③正确； ④过F作FH⊥DC， ∵BC⊥DH， ∴FH//GC， ∴△EFH∽△EGC， ∴， ∵EF=DE=2，GF=3， ∴EG=5， ∴， ∴， ∴S△FGC=S△GCE﹣S△FEC=，故④错误， 综上，正确的有①②③，共3个. 故答案为：C． 【分析】利用HL可证明△ABG≌△AFG，①正确；设BG=FG=x，则CG=6﹣x，在直角△ECG中，利用勾股定理构建方程求出BG=3=GC即可得到②正确；根据平角的定义和三角形内角和定理证明∠AGF=∠GFC，即可得出AG//CF，③正确；过F作FH⊥DC，证明△EFH∽△EGC，利用相似三角形的性质求出FH，然后根据S△FGC=S△GCE﹣S△FEC计算即可． 3．（2024九下·隆昌月考）如图，在正方形ABCD中，是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：①；②∽；③∽；④，其中正确的是（　　） A．①②③④ B．②③ C．①②④ D．①③④ 【答案】C 【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；正方形的性质；相似三角形的判定与性质 【解析】【解答】解：∵△BPC是等边三角形， ∴BP=PC=BC，∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°， 在正方形ABCD中， ∵AB=BC=CD，∠A=∠ADC=∠BCD=90° ∴∠ABE=∠DCF=30°， ∴BE=2AE；故①正确； ∵PC=CD，∠PCD=30°， ∴∠PDC=75°， ∴∠FDP=15°， ∵∠DBA=45°， ∴∠PBD=15°， ∴∠FDP=∠PBD， ∵∠DFP=∠BPC=60°， ∴△DFP∽△BPH；故②正确； ∵∠FDP=∠PBD=15°，∠ADB=45°， ∴∠PDB=30°，而∠DFP=60°， ∴∠PFD≠∠PDB， ∴△PFD与△PDB不会相似；故③错误； ∵∠PDH=∠PCD=30°，∠DPH=∠DPC， ∴△DPH∽△CPD， ∴， ∴DP2=PH PC，故④正确； 故答案为：C． 【分析】根据正方形的性质和等边三角形的性质可得∠ABE=∠DCF=30°，根据30°角的直角三角形的性质可判定 ① ，根据等腰三角形的判定和相似三角形的判定可判定 ② ，进而判定 ③ ，证明△DPH∽△CPD，利用相似三角形的性质判定④。 4．（2024·新市区模拟）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边．，将矩形沿直线折叠到如图所示的位置，线段恰好经过点，点落在轴的点位置，点的坐标是　　 A． B． C．， D．， 【 ... ...