经典好题1 积常和小 和常积大【讲】 【典例1】（2024上·天津河北·高三统考期末）已知，则的最小值为_____ 【典例2】（2023上·湖北荆门·高三荆门市龙泉中学校联考阶段练习）已知，，，则的最小值为_____ 【典例3】（2024上·江苏扬州·高三统考）已知，且，则的最小值为_____ 上面三个问题的共同特点是，根据题设条件，求解和或积的最值.第1题中的积为定值，求和的最小值，第2题函数的和与积的关系，利用基本不等式求解积的范围，第3题对已知式子变形，然后利用基本不等式求解和的范围即可. 1.基本不等式可用于解决两类最值问题：一是求积为常数的两正变数之和的最小值；二是求和为常数的两正变数之积的最大值.解决这两类问题都需等号能取到. 2.要熟悉基本不等式的变式和推广，这对提高解题能力是有帮助的，常见的基本不等式的变式和推广有： ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧等. 对于以上各式，要明了其成立的条件和取“＝”的条件. 3.在利用基本不等式求最值时，要注意一正，二定，三相等.“一正”是指使用均值不等式的各项（必要时，还要考虑常数项）必须是正数；“二定”是指含变数的各项的和或积必须是常数；“三相等”是指具备等号成立的条件，使待求式能取到最大或最小值. 4.基本不等式的应用在于“定和求积，定积求和；和定积最大，积定和最小”，必要时可以通过变形（拆补）、配凑、常数代换、运算（指数、对数运算、平方等）构造“和”或者“积”，使之为定值. 5.基本不等式除具有求最值的功能外，还具有将“和式”转化为“积式”以及将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常用于比较数（式）的大小或证明不等式，解决问题的关键是抓住不等式两边的结构特征，找准利用基本不等式的切入点. 【精细化解析 典例1】 第一步：将函数变形； 因为，所以 第二步：根据基本不等式求解最值； ， 第三步：检验等号是否成立，求解函数最值. 当且仅当，即时，等号成立. 所以的最小值为.故答案为：. [精细化解析 典例2] 第一步：将等式变式，利用基本不等式建立不等关系； 已知，，又，所以，且 因为，所以， 第二步：根据二次不等式求解； 整理得，解得或（舍） 第三步：检验等号是否成立，求解最值. 当且仅当，即时，的最小值为.故答案为：. 【精细化解析 典例3】 第一步：利用已知等式化简求解，得到x，y关系 由，可得， 因为，可得， 第二步：根据基本不等式求解最值； 则 ， 第三步：检验等号是否成立，求解最值. 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为.故答案为：. 类型1 给定值求和的最小值 例1 （2024上·辽宁沈阳·高三沈阳联考期末）设，，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【思路】先将与相乘，变为积定的形式，利用基本不等式可以求出最小值. 【详解】，， . 当且仅当即，时等号成立， 所以的最小值为.故选：D. 【升华】求型最值问题，常通过“1”来进行转化，但不是所有的最值都可以通过基本不等式解决，有一些看似可以通过基本不等式解决的问题，由于条件的限制，等号不能够成立，这时就不能用基本不等式来解决，而要借助于其他求值域的方法来解决. 【类题1-1】 1．已知且,则的最小值为 A． B． C．5 D．9 【类题1-2】 2．若正数，满足，则的最小值为 ． 【类题1-3】 3．已知，，且，则的最小值为（ ） A．9 B．10 C．12 D．13 类型2 给定值求积的最大值 例2 （2023上·河南·高三南阳联考）若，且，则的最大值为_____ 【思路】由基本不等式计算即可. 【详解】因为，所以， 当且仅当，即时等号成立.故答案为： 【升华】求型最值问题，常运用或来进行求解，有时要注意对题干条件变形为求解乘积范围的形式. 【类题1-1】 4．已知，为正实数，，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【类题1-2】 5．已知正数 ... ...
~~ 您好，已阅读到文档的结尾了 ~~
