专题1 透视四心 向量处理【讲】 【典例1】（2024·广东广州·铁一中学校考一模）如图所示，O点在内部，分别是边的中点，且有，则的面积与的面积的比为（ ） A． B． C． D． 【典例2】（2023下·上海·高三校联考阶段练习）设锐角内部的一点O满足，且，则角A的大小可能为（ ） A． B． C． D． 【典例3】（2024上·安徽安庆·高三安徽省怀宁县新安中学校考阶段练习）设O点在内部，且有，则的面积与的面积的比值为（ ） A．2 B． C． D．3 为了深入研究上述问题，我们先介绍与三角形“四心”密切相关的“奔驰”定理． 引理（“奔驰”定理）如图1，O是内的一点，，，的面积分别为，，，则． 图1与奔驰汽车的标志（图2）类似，故该引理又称“奔驰”定理． 证明 如图3，延长AO，与BC边相交于点D， 则． 记，则，即， 所以， 又，所以， 从而． 若O是内的一点，且，则． 下面我们归纳三角形“四心”的定义、几何性质和向量特征． 1．重心 ①定义：三角形三条中线的交点． ②几何性质：三角形的重心是中线的三等分点，它到顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍． ③向量特征 定理1 G是的重心． 证明由引理得G是的重心． 推论1 P是所在平面内任意一点， 是的重心． 证明 G是的重心 ． 注 在推论1中，若P为坐标原点，的三个顶点的坐标分别为，，，则的重心为． 2．外心 ①定义：三角形三条边的中垂线的交点，也是三角形外接圆的圆心． ②几何性质：三角形的外心到三个顶点的距离相等． ③向量特征 定理2 O是锐角的外心． 证明 由O是锐角的外心，得， 则，，， 于是， 根据引理，得到． 反之亦然（证明略）． 推论2 P是锐角所在平面内任意一点， 是锐角的外心． 推论2可仿照推论1进行证明． 3．内心 ①定义：三角形三条内角平分线的交点，也是三角形内切圆的圆心． ②几何性质：三角形的内心到三边的距离相等． ③向量特征 定理3 O是的内心（其中a，b，c是的三边长）． 证明 设的内切圆半径为r，O是的内心， 则． 根据引理得，O是的内心． 推论3 P是所在平面内任意一点， O是的内心． 推论3 可仿照推论1进行证明． 4．垂心 ①定义：三角形三条高所在直线的交点． ②几何性质：三角形的垂心分每条高线所得的两条线段长的乘积相等． ③向量特征 定理4 O是（非直角三角形）的垂心． 证明O是（非直角三角形）的垂心 ， 由引理得，O是（非直角三角形）的垂心． 推论4 P是（非直角三角形）所在平面内任意一点， O是（非直角三角形）的垂心． 推论4可仿照推论1进行证明． 【精细化解析 典例1】 第一步：利用向量运算得三点共线； 由可得， 又因为分别是边的中点，所以，， 所以，即，所以三点共线，且， 第二步：由三角形面积公式即可求解. 所以到的距离与到的距离之比也为， 又的面积与的面积都以为底， 所以的面积与的面积的比为．故选：A [精细化解析 典例2] 第一步：根据三角恒等变换和外心的向量性质，将原式化简； 由于锐角△ABC内部的一点O满足|OA|＝|OB|＝|OC|， 所以点O为△ABC外接圆的圆心，外接圆的半径为R； 所以 ， 整理得 ， 第二步：利用数量积的定义二倍角化简求值即可. 所以 ， 故 ， 则 ， 所以 ， 故，由于，所以，解得．故选：D． 【精细化解析 典例3】 第一步：设，于是得到点O是的重心； 不妨设，如图所示， 根据题意则，即点O是的重心， 第二步：根据重心性质及高的关系，得到； 取的中点，连接，则三点共线，且， 所以边上的高是边上的高的倍， ，即，同理可得：，， 所以有， 第三步：利用面积关系得结论. 又因为， 那么， 故的面积与的面积的比值为.故选：A. 类型1 由“奔驰”定理演绎三角形面积之比 例1 设点O在内部，且有，D是BC的中点，设与的面积分别为，，则_____． 【详解】 取AC的中点为E，由得， 所以O， ... ...
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