专题6 数列不等式 与导数结合【练】 （2024·贵州黔西·一模） 1．已知函数. (1)判断的单调性; (2)证明:. （2024·天津·一模） 2．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，若在的图象上有一点列，若直线的斜率为， （ⅰ）求证：； （ⅱ）求证：． （2024·辽宁丹东·一模） 3．已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)当时，数列满足， ①求证：； ②求证：． （23-24高二下·浙江嘉兴·阶段练习） 4．已知函数 . (1)求函数 的最小值； (2)若直线 是曲线 的切线，求 的最小值； (3)证明：. （2024·云南昆明·一模） 5．已知函数． (1)若，求实数的值； (2)证明：当时，； (3)证明：． （2023年山东省嘉祥县第一中学高三期中考试） 6．已知函数，，． (1)求的最大值； (2)若对，总存在，使得成立，求实数的取值范围； (3)证明不等式（其中是自然对数的底数）． （23-24高三上·安徽合肥·期末） 7．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)证明：对于任意正整数n，都有． （2024·山东潍坊·一模） 8．已知函数（）． (1)讨论的单调性； (2)证明：（，）； (3)若函数有三个不同的零点，求的取值范围． （2024·天津·一模） 9．意大利画家达芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么 这就是著名的“悬链线问题”，通过适当建立坐标系，悬链线可为双曲余弦函数的图象，定义双曲正弦函数，类比三角函数的性质可得双曲正弦函数和双曲余弦函数有如下性质①平方关系：，②倍元关系：. (1)求曲线在处的切线斜率； (2)若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围： (3)（i）证明：当时，； （ii）证明：. （2024·内蒙古呼伦贝尔·一模） 10．已知函数． (1)判断函数的单调性 (2)证明：①当时，； ②. （2023年山东省烟台市、德州市3月一模） 11．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当，，求a的取值范围； (3)证明：． （2023年广东省汕头市潮南实验学校12月月考） 12．函数. （1）讨论的单调性； （2）设，证明：. （2024·湖南长沙·一模） 13．已知函数. (1)若有且仅有一个零点，求实数的取值范围： (2)证明：. （2024·广东·一模） 14．已知函数，，. (1)判断是否对恒成立，并给出理由； (2)证明： ①当时，； ②当，时，. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 参考答案： 1．(1)在上单调递增； (2)证明见解析； 【分析】（1）对函数求导，并构造函数得出其单调性即可求出在上单调递增； （2）根据（1）中结论，利用根据对数运算法则裂项并由累加法可求得结论. 【详解】（1）易知函数的定义域为， 可得； 令，则， 当时，，此时在上单调递减， 当时，，此时在上单调递增， 所以； 即在上恒成立， 因此在上单调递增； （2）由（1）可知，即， 可得； 所以， 即可得 ； 即. 2．(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得； （2）（ⅰ）令，即证在时恒成立，借助导数，多次求导后即可得；（ⅱ）计算可得，由（ⅰ）可得，即可得，借助放缩法可得，结合等比数列求和公式及放缩即可得证. 【详解】（1）当时，，，所以， 曲线在点处切线的斜率为， 所以切线方程为，即； （2）（ⅰ）要证，即证时，， 令，即证在时恒成立， 因为，令，则， 令，则在内单调递增， 所以，即在内单调递增， 所以, 即在内单调递增， 所以，即得证； （ⅱ）时， ， 由（ⅰ）知，，即，则， 所以 ， ，即得证. 【点睛】关键点点睛：本题最后一问关键点在于由（ⅰ）中得到，从而得到，从而借助放缩法，得到. 3．(1)答案见解析 (2)①证明见解析；②证明见解析 【分析】（1）根据题意，求得，分和，两种情况讨论，即可求解； （2）①令，可得，由（1）得到函数在的单调 ... ...
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