【精品解析】2024年中考数学精选压轴题之二次函数(一)

2024年中考数学精选压轴题之二次函数(一) 一、选择题（每题3分，共36分） 1．（2024九上·黔东南期末）已知二次函数的对称轴为，当时，y的取值范围是．则的值为（　　） A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质 【解析】【解答】解：∵二次函数的对称轴为， ∴，即， ∴， 当时，有最大值， ∴， ∴， ∴当时，随的增大而增大， ∴，， 解得：或；或； 经检验时，不符合题意； ∴，， ∴． 故答案为：D 【分析】先根据题意求出二次函数的解析式，进而得到当时，有最大值，从而得到，再结合题意即可求解。 2．（2023·丹东）抛物线与轴的一个交点为，与轴交于点，点是抛物线的顶点，对称轴为直线，其部分图象如图所示，则以下个结论：；，是抛物线上的两个点，若，且，则；在轴上有一动点，当的值最小时，则点的坐标为；若关于的方程无实数根，则的取值范围是其中正确的结论有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数图象与系数的关系；轴对称的应用-最短距离问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的性质 【解析】【解答】解：①∵抛物线开口向上，故a＞0； ∵抛物线的对称轴为直线x=-1， 即对称轴在y轴左侧， ∴a与b同号， 故b＞0； ∵抛物线与y轴的交点在x轴的下方， 故c＜0； ∴abc＜0，故①错误； ②∵抛物线开口向上，抛物线的对称轴为直线x=-1， ∴当x＜-1时，y随x的增大而减小， 又∵x1＜x2，且x1+x2＜-2， 故x1+x2＜2x2＜-2， 则x2＜-1， ∴E，F两点都在对称轴的左侧， ∴y1＞y2．故②错误； ③作点C关于x轴的对称点C′，连接C′D与x轴交于点P，连接PC，如图： 则PC′=PC， 故PC+PD=PC′+PD=C′D， 故此时PC+PD的值最小； 将A（-3，0）代入二次函数y=ax2+bx+c得，9a-3b+c=0， 又∵抛物线的对称轴为直线x=-1， 即， ∴b=2a， 故9a-6a+c=0， ∴c=-3a； 又∵抛物线与y轴的交点坐标为C（0，c）， 则点C坐标为（0，-3a）， ∴点C′坐标为（0，3a）； 当x=-1时，y=-4a， 故D（-1，-4a）； 设直线C′D的函数表达式为y=kx+3a， 将点D坐标代入得-k+3a=-4a， 解得：k=7a， 所以直线C′D的函数表达式为y=7ax+3a； 将y=0代入y=7ax+3a得， 所以点P的坐标为，故③正确； ④∵方程ax2+b（x-2）+c=-4没有实数根， 即方程ax2+bx-2b+c+4=0根的判别式△=b2-4ac＜0， ∴b2-4a·（-2b+c+4）＜0， ∵b=2a，c=-3a， 故整理可得△=b（b-1）＜0； ∵b＞0， ∴b-1＜0， 即b＜1， ∴0＜b＜1；故④错误； ∴正确的有③． 故答案为：A. 【分析】首先根据函数图象可得出a、b、c的正负，即可判断①错误；根据抛物线的增减性和题意推得E，F两点都在对称轴的左侧，即可判断②错误；根据最短路径可得作点C关于x轴的对称点C′，连接C′D与x轴交于点P，连接PC，此时PC+PD的值最小，根据对称性和点A坐标、对称轴可求得点C′和点D的坐标，待定系数法求出直线C′D的函数表达式，求出直线C′D与x轴的交点坐标即可求出点P的坐标，判断③正确；根据一元二次方程根的判别式可求得△=b（b-1）＜0，结合b＞0，即可求出b的取值范围，判断④错误. 3．（2024·攀枝花模拟）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，顶点为，以为直径在轴上方画半圆交轴于点，圆心为，是半圆上一动点，连接，点为的中点．下列四种说法： 点在上； ； 当点沿半圆从点运动至点时，点运动的路径长为； 线段的长可以是． 其中正确说法的个数为(　　) A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【知识点】勾股定理；垂径定理；二次函数的其他应用；圆-动点问题 【解析】【解答】解：抛物线与坐标轴交于点，，， ，，， 点，的半径为， ， 顶点的坐标为：， ， 点在上 ... ...