2024年中考数学精选压轴题之平行四边形与特殊的平行四边形

2024年中考数学精选压轴题之平行四边形与特殊的平行四边形 一、选择题（每题3分，共36分） 1．（2023九上·青岛月考）如图，在边长为2的等边三角形ABC的外侧作正方形ABED，过点D作DF⊥BC，垂足为F，则DF的长为（　　） A．2+2 B．5- C．3- D．+1 【答案】D 【知识点】等边三角形的性质；正方形的性质；直角三角形的性质 【解析】【解答】解：如图，过点A分别作AGBC于点G，AHDF于点H， DFBC， 四边形HFGA是矩形， HF=AG， △ABC是等边三角形， AB=BC=2， BG=1， AG= 在正方形ABED中，AD=AB=2， 故答案为：D 【分析】过点A分别作AGBC于点G，AHDF于点H，可构造矩形HFGA，从而得到HF=AG，再由等边三角形ABC的性质可得 BG=1，进一步得到再证明由直角三角形的性质即可求解. 2．（2023九上·江阳月考）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD=10cm，BC=8cm，点P从点D出发，以1cm/s的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点P的运动时间为t（单位：s），下列结论正确的是 （　　） A．当 t＝4s 时，四边形 ABMP 为矩形 B．当 t＝5s 时，四边形 CDPM 为平行四边形 C．当 CD＝PM 时，t＝4s D．当 CD＝PM 时，t＝4s 或6s 【答案】D 【知识点】四边形的综合；四边形-动点问题 【解析】【解答】解：根据题意，可得DP=t cm，BM=t cm， ∵AD=10cm，BC=8cm， ∴AP=(10-t) cm，CM=(8-t) cm， 当四边形ABMP为矩形时，AP=BM， 即10-t=t， ∴t=5， 故A不符合题意， 当四边形CDPM为平行四边形，DP=CM， 即t=8-t， ∴t=4， 故B不符合题意， 当CD=PM时，分两种情况： ①四边形CDPM是平行四边形， 此时CM=PD， 即8-t=t， ∴t=4， ②四边形CDPM是等腰梯形， 过点M作ME⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD于点F，如图， 则∠MEP=∠CFD=90°， ∵PM=CD，EM=FC， ∴△MEP≌△CFD (HL)， ∴EP=FD， ∵AE=AP+EP=10-t+， 又∵BM=t， ∴10-t+=t， ∴t=6， 综上所述，当CD=PM时，t=4s或6s. 故C不符合题意，D符合题意. 故答案为：D. 【分析】根据题意，表示出DP，BM，AP和CM的长，当四边形ABMP为矩形时，根据AP=BM，列方程求解即可，当四边形CDPM为平行四边形，根据DP=CM，列方程求解即可，当CD=PM时，分两种情况：①四边形CDPM是平行四边形，②四边形CDPM是等腰梯形，分别列方程求解即可. 3．（2023·游仙模拟）如图，直角三角形顶点在矩形的对角线上运动，连接．，，，则的最小值为（　　）． A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】矩形的性质；四边形-动点问题 【解析】【解答】如图，过点B作BH⊥AC于点H，连接EH， 根据题意可得：∠BEF=∠BHF=90°， ∴点E、B、F、H四点共圆， ∴∠EHB=∠EFB， ∵∠AHE+∠EHB=90°，∠EBF+∠EFB=90°， ∴∠AHE=∠EBF， ∵∠EBF=∠ACD， ∴∠AHE=∠ACD且为定值， ∴点E在射线HE上运动， 当AE⊥EH时，AE的值最小， ∵矩形ABCD， ∴AB=CD=6，BC=AD=8，∠D=90°， ∴AC=， ∴， ∴S△ACB=×AB×CB=×AC×BH， ∴， 再根据勾股定理可得AH=， ∴AE的最小值=， 故答案为：D. 【分析】先证出当AE⊥EH时，AE的值最小，再求出，利用勾股定理求出AH的长，最后利用解直角三角形的方法求出AE的最小值=即可。 4．（2024九下·杭州月考）如图，在中，，分别以、为边向外作正方形、，连结并延长交于点H，连结．若，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】勾股定理；正方形的性质；解直角三角形—边角关系 【解析】【解答】解：连接AF，过点H作HP⊥AF于点P，如图： ∵ 正方形、中，AD和AF为对角线， ∴∠DAB=∠CAF=45°=∠HFP. ∵∠DAB+∠BAC+∠CAF+∠α=180°. ∴∠BAC+∠α=90°. ∵ 在中，， ∴∠BAC+∠BCA=90°. ∴∠α=∠BCA. ∵， 设CF=x，， ∴HF=kx， ... ...