高二第二学期期中试卷 数学 （清华附中高22级） 2024.4 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 设集合，，则集合的元素的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2. 已知数列是公差为的等差数列，其前项和为，若，则等于（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 在复平面内，复数对应点坐标为，则复数等于（ ） A. B. C. D. 4. 设，若，则的值为（ ） A. 4 B. 6 C. 7 D. 8 5. 已知圆，直线经过点，且与圆相切，则的方程为（ ） A B. C. D. 6. 若，，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 已知抛物线的焦点为，准线为直线，横坐标为3的点在抛物线上，过点作的垂线，垂足为，若，则等于（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 已知的外接圆的半径为1，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 1 9. 已知是公比为的等比数列.则“，恒成立”是“是的一个最值”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 即不充分也不必要条件 10. 已知曲线，点在曲线上，给出下列四个结论： ①曲线关于直线对称： ②当时，点不在直线上： ③当时，； ④当时，曲线所围成的区域的面积大于. 其中所有正确结论的有（ ） A. ②③④ B. ①②③ C. ①② D. ③④ 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 正方体中，直线与平面所成角正弦值为_____. 12. 已知双曲线，其焦点到渐近线的距离是其焦距的倍，则双曲线的离心率为_____. 13. 已知函数，若，，使得，则正数的最小值为_____. 14. 设，函数， ①若，则_____； ②若函数有且仅有两个零点，则的取值范围为_____. 15. 训练师是一种新型的工作，通过向提问，能让软件更加准确地回答问题.训练师需要和数据标注员紧密协作，把控好整个流程的输入规则和输出结果，最终输出标注准确的数据.通过训练师每次提问后，软件回答问题的正确率可能发生变化.某软件初始回答问题的正确率记为，设第次训练后，可将该软件回答问题的正确率从改变为，其中，，，，，，…，给出下列四个结论： ①当，若，，时，该软件无法通过训练提高正确率； ②若，时，该软件经过第一次训练提高了正确率； ③当，若，，时，该软件经过5次训练后，正确率高于； ④当，若，时，该软件无论怎么训练，正确率都不高于. 其中，所有正确结论的序号是_____. 三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 16. 在中，. （1）求值； （2）以下三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件，并求： 条件①：； 条件②：； 条件③：的面积为. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分. 17. 如图，在四棱锥中，，，，和都是等边三角形，且. （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值. 18. 为了解某地区居民每户月均用电情况，采用随机抽样的方式，从该地区随机调查了100户居民，获得了他们每户月均用电量的数据，发现每户月均用电量都在之间，进行适当分组后（每组为左闭右开区间），得到如下频率分布直方图： （1）记频率分布直方图中从左到右的分组依次为第1组，第2组，…，第6组.从样本中第1组和第2组中，任取2户，求他们月均用电量都不低于的概率； （2）从该地区全体居民中随机抽取3户，设月均用电量在之间的用户数为，以样本的频率估计总体的概率，求的分布列和数学期望； （3）用图中数据估计该地区全体用户的月均用电量.有人估计该地区全体用户的月均用电量低于.请分析这一估计是否正确，说明理由. 19. 已知椭圆过点，点是椭圆右焦点，且.过点作两条互相垂直的弦，. （1）求椭圆的方程； （2）若直线，的斜率都存在，设线段，的中点分别为，.求点到直线的距离的最大值. 20. 已知函数 ... ...
