模块7直线与圆锥曲线的位置关系专题3 焦点弦题性质优先 学案（含解析） 2024年高考数学三轮冲刺

专题3 焦点弦题 性质优先【讲】 【典例1】（2022年新高考全国Ⅱ卷第10题）已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（ ） A．直线的斜率为 B． C． D． 【典例2】（2024·广西南宁·一模）抛物线有如下光学性质：平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线经过抛物线的焦点．过点且平行于轴的一条光线射向抛物线上的A点，经过反射后的反射光线与相交于点，则（ ） A． B．9 C．36 D． 【典例3】（2017年高考全国Ⅰ卷理科第10题）已知F为抛物线的焦点，过点作两条互相垂直的直线，直线与交于，两点，直线与交于D，E两点，则的最小值为（ ） A．16 B．14 C．12 D．10 上面三道题都与抛物线的焦点弦（过抛物线焦点的直线被抛物线截得的线段）相关． 抛物线的焦点弦的性质非常丰富，下面我们以抛物线为例，归纳出抛物线焦点弦的几条重要性质． 设AB是过抛物线的焦点的一条弦，，，直线AB的倾斜角为． 定理1 抛物线中的定值：，，． 定理2 抛物线的焦点弦的长度：． 定理3 抛物线中的面积：． 定理4 ． 证明 定理1证明如下． 当时，直线AB的方程为，代入中，有，不妨令，，则． 当时，设直线AB的斜率为，则，，． 联立得，则，． 以上两种情况都有． 进一步有 ． 定理2证明如下． 由定理1，进一步得到 ， 根据抛物线的定义，有 ． 定理3证明如下． ． 定理4证明如下． ， 将上面证明中得到的，代入，化简即得． 注 如果抛物线的方程是，设AB是过抛物线的焦点F的一条弦，，，直线AB的倾斜角为，则可以类比得出关于其焦点弦的定理如下． 定理5 抛物线中的定值：，，． 定理6 抛物线焦点弦的长度：． 定理7 抛物线中的面积：． 定理8 ． 定理5～8可分别仿照定理1～4进行证明，在此略去． 【精细化解析 典例1】 第一步：由及抛物线方程求得，再由斜率公式即可判断A； 易得，由可得点A在的垂直平分线上，则A点横坐标为， 代入抛物线可得，则，则直线的斜率为，A正确； 第二步：表示出直线的方程，联立抛物线求得，即可求出判断B选项； 对于B，由斜率为可得直线的方程为，联立抛物线方程得， 设，则，则，代入抛物线得，解得，则， 则，B错误； 第三步：由抛物线的定义求出即可判断C选项； 由抛物线定义知：，C正确； 第四步：由，求得，为钝角即可判断D选项. ，则为钝角， 又， 则为钝角， 又，则，D正确. 故选：ACD. [精细化解析 典例2] 第一步：求出直线的方程为； 令，则，则点的坐标为的焦点为， 则，所以直线的方程为， 第二步：将其与抛物线方程联立，得到韦达定理式，则得到，即可求解弦长. 直线与抛物线方程联立，消去得， 由韦达定理得， 所以， 所以由抛物线的定义得. 故选：D. 【精细化解析 典例3】 第一步：设直线AB的倾斜角，根据垂直关系及焦半径公式求解弦长； 不妨设直线AB的倾斜角为，因为直线DE与直线AB垂直，所以直线DE的倾斜角为． 由定理2知，，， 第二步：根据同角三角函数基本关系及二倍角公式，利用正弦函数性质求解即可. 故， 当且仅当时取等号，故所求最小值为16．故选A． 类型1 给定焦半径（焦点弦）的长度 例1 设为抛物线的焦点，过点作倾斜角为60°的直线交于，两点，若，则_____ 解析 因为，， 由题意知，所以解得，． 又，得，所以． 升华 根据定理4或定理8的结论，可知给定焦参数，焦半径，焦半径中的任意两个，可直接求出第三个． 【类题1-1】 1．已知过抛物线的焦点的直线交该抛物线于两点，，则 ． 【类题1-2】 2．过抛物线：的焦点的直线交抛物线于，两点．若，，则的值为 ． 【类题1-3】 3．设抛物线过点. （1）求抛物线C的方程； （2）F是抛物线C的焦点，过焦点的直线与抛物线交于A，B两点，若，求的值. 类型3 给定倾斜角（或斜率 ... ...