专题2 球组合体 补体性质【讲】 【典例1】．（23-24高三上·云南德宏·期末）在三棱锥中，，，则三棱锥的外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【典例2】．（23-24高三上·广东湛江·期末）已知是边长为8的正三角形，是的中点，沿将折起使得二面角为，则三棱锥外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【典例3】（2022高三·全国·专题练习）如图，在三棱锥中，，若三棱锥外接球的体积为，则的最大值为（ ） A． B． C． D．8 定义：空间中，若一个定点到一个几何体的各顶点的距离都相等，则这个定点就是该几何体的外接球的球心． 性质：球心与截面圆（小圆）圆心的连线垂直于截面圆． 根据上述定义与性质，可以得到以下确定简单多面体外接球的球心位置的结论． ①长方体的外接球的球心是其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半． ②直三棱柱（侧棱垂直于底面的三棱柱）的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点，半径可在球心、底面三角形外心、底面一个顶点构成的直角三角形中求解． ③正棱锥的外接球的球心在其高线上，半径可在球心、底面三角形外心、底面一个顶点构成的直角三角形中求解． ④若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心． ⑤过几何体的两个面（外心较易找到）的外心分别作这两个面的垂线，垂线的交点即为球心． 在画球的内接四面体的底面时，通常将一点画在球的边界上，另外两点放置于截面圆的圆弧的其他位置．当分别为任意三角形、等边三角形、直角三角形时的情形及几何量的内在基本关系如图1、图2、图3（为的外心，平面，为圆的半径，为球的半径，）． 图1 图2 图3 对任意，由正弦定理可得（图1）； 对等边，（图2）； 对（图3）． 【精细化解析 典例1】 第一步：将三棱锥转化为长方体，转化为长方体外接球； 如图，将三棱锥转化为长方体， 可知三棱锥的外接球即为长方体的外接球， 第二步：结合长方体的外接球以及长度关系运算求解. 则，可得， 则外接球的半径， 所以三棱锥的外接球的表面积为. 故选：C. [精细化解析 典例2] 第一步：根据条件得到三棱锥中的线面关系，利用球的性质确定球心； 在三棱锥中，平面， 由二面角为，，得是正三角形，令其外接圆圆心为， 则，令三棱锥外接球的球心为，球半径为， 则平面，即有，显然球心在线段的中垂面上， 第二步：结合球的截面圆性质确定球心位置，再求出球半径即得. 令线段的中垂面交于， 则，显然，于是，四边形是平行四边形，且是矩形， 而，因此， 所以三棱锥外接球的表面积. 故选：C 【精细化解析 典例3】 第一步：由已知可得，结合直角三角形的性质，找到棱锥外接球的球心为的中点； 因为，所以， 又因为，所以，取的中点，连接， 所以为三棱锥的外接球的球心，外接球的体积为， 第二步：求得，再由基本不等式可求得的最大值. 所以，则，所以，则， 因为，两边同时加上，则， 因为，所以， 当且仅当时等号成立， 又因为，所以， 则的最大值为. 故选：A. 类型1 定义找心 例1 （2024·安徽合肥·一模）已知四面体的各顶点都在同一球面上，若，平面平面，则该球的表面积是（ ） A． B． C． D． 【分析】根据题中条件作出外接球球心，利用勾股定理计算得到半径，进一步计算即可. 【详解】过三角形的中心作平面的垂线， 过三角形的中心作平面的垂线，两垂线交于点，连接， 依据题中条件可知，为四面体的外接球球心， 因为，所以， 则，即外接球半径为，则该球的表面积为， 故选：C. 升华 根据外接球的定义，确定到多面体各顶点距离相等的点．例如，两个面是具有公共斜边的直角三角形的四面体的球心为斜边中点；直三棱柱的外接球的球心在上下底面三角形外心连线的中点处．常见的模型有： 1.1 共斜边的和构成的 ... ...
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