安徽省合肥市第一中学2023-2024学年高二下学期期中联考数学试题（pdf版，含解析）

合肥一中 2023-2024 学年度高二年级下学期期中联考 数学参考答案 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每个小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的． 1.【答案】A 【解析】 y = f (x) 在点 (1， f （1） )处的切线的斜率为 f ′（1） lim f (1) f (1 2 x)= = 1， x→0 2 x 故选：A． 2.【答案】D 【解析】由题意知本题是一个分步乘法问题，首先每名学生报名有 3 种选择，有 4 名学生 根据分步计数原理知共有34 种选择，每项冠军有 4 种可能结果，3 项冠军根据分步计数原 理知共有 43 种可能结果． 故选：D． 3.【答案】A 5 3 【解析】由二项式 x 3 x 展开式的通项为 15 5r T r 5 r 3 rr+1 = C5 ( x ) ( ) = ( 3) r Cr 6 3 5 x ， x 令15 5r = 0 ，可得 r = 3 3 3，所以展开式的常数项为 ( 3) C5 = 270 . 故选：A. 4.【答案】A 【解析】∵ f (x) = 2x ln x, x > 0 , ' 1 2x 1 ∴ f (x) = 2 = , x > 0, x x 令 f ' (x) < 0,解得0 < x 1 < ,故 f (x) 1的递减区间为（0，）. 2 2 故选：A. 5.【答案】C 数学答案 第 1 页 / 共 11 页 1 【解析】函数 f (x) = x sin 2x + asin x 2 的导数为 f ′(x) =1 cos 2x + a cos x ， 3 3 由题意可得 f ' (x) ≥ 0恒成立， 即为1 2 cos 2x + a cos x ≥ 0， 3 5 4 cos2即有 x + a cos x ≥ 0， 3 3 设 t = cos x( 1≤ t ≤1)，即有5 4t 2 + 3at ≥ 0， 当 t = 0 时，不等式显然成立； 5 当0 < t ≤1时，3a ≥ 4t ， t 由 4t 5 在 (0 ，1]递增，可得 t =1时，取得最大值 1， t 1 可得3a ≥ 1，即a ≥ ， 3 5 当 1≤ t < 0时，3a ≤ 4t ， t 由 4t 5 在[ 1 1 ， 0) 递增，可得 t = 1时，取得最小值 1，可得3a ≤1，即a ≤ , t 3 1 1 综上可得 a的范围是[ ， ]． 3 3 故选：C ． 6.【答案】B． 【解析】把学生分成两类：311，221， C3C1C1 C 2C 2C13 3 根据分组公式共有 5 2 1 A 5 3 1 A2 3 + 2 A3 =150种报考方法， 2 A2 故选： B ． 7.【答案】C. 【解析】对于 A，取 x = 3， e3 >1+ 3+ 32 ，所以不等式不恒成立； 1 对于 B ， x =1 2 6时，左边 = ，右边 = 0.75，不等式成立； x = 时，左边 = ，右边 2 2 3 13 = ，左边大于右边，所以 x∈[0， +∞) ，不等式不恒成立； 16 1 2 对于C ，构造函数 h(x) = cos x 1+ x ， h′(x) = sin x + x， h '' (x) =1 cos x ≥ 0，又 2 x ≥ 0 ∴h′(x) 在 [0 ， +∞) 上单调递增， 又 h ' (0) = 0, 所以函数h ' (x) ≥ 0, x ≥ 0 数学答案 第 2 页 / 共 11 页 1 ∴函数 h(x) = cos x 1 1 + x2 在 [0 2， +∞) 上单调增，∴h(x) ≥ 0，∴ cos x ≥1 x ； 2 2 9 对于 D ，取 x = 3， ln(1+ 3) < 3 ，所以不等式不恒成立； 8 故选：C ． 8.【答案】C. 2x + 3 x 【解析】 f ′ (x) = x f (x)即 e f ′(x) + f (x) = 2x + 3， e x2 + 3x + c 所以 e x f (x) x 2 ′ = 2x + 3，则e f (x) = x + 3x + c，所以 f (x) = ， ex c x2 + 3x +1 因为 f (0) =1，所以 f (0) = 0 = c =1，所以 f (x) = ， e ex (2x + 3)ex ex (x2 + 3x +1( ) ) (x 2 + x 2) x + 2 f ′ x ( )(x 1)= 2x = = ， e ex ex 由 f ' (x) > 0得 21，此时 f (x)单调递减， f (x) f (1) 5所以 x =1时， 取得极大值为 = ， e 当 x = 2时， f (x) 2取得极小值 f ( 2) = e < 0， 又因为 f ( 1) = e < 0， f (0) =1> 0， f ( 3) = e3 > 0 ，且 x >1时， f (x) > 0， 2 f (x) m < 0 x + 3x +1的解集中恰有两个整数等价于 f (x) = 在 y = m下方的图象只有 ex 2 个横坐标为整数的点，结合函数图象可得：则 f ( 1) < m ≤ 0 ，解得 e < m ≤ 0， 数学答案 第 3 页 / 共 11 页 所以 e < m ≤ 0时， f (x) m < 0的解集中 ... ...