2024年高考数学复习专题 练习★★ 空间向量与空间角（3大考点+强化训练）学案（无答案）

2024年高考数学复习专题 练习★★ 　空间向量与空间角（3大考点+强化训练） [考情分析]　以空间几何体为载体考查空间角是高考命题的重点．空间向量是将空间几何问题坐标化的工具，利用空间向量求平面与平面的夹角或线面角是高考热点，通常以解答题的形式出现，难度中等． 知识导图 考点分类讲解 考点一：异面直线所成的角 设异面直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，异面直线l与m的夹角为θ. 则(1)θ∈； (2)cos θ＝|cos〈a，b〉|＝ ＝. 规律方法　用向量法求异面直线所成的角的一般步骤 (1)建立空间直角坐标系． (2)用坐标表示两异面直线的方向向量． (3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值． (4)注意两异面直线所成角的范围是，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值． 【例1】（2024高三·全国·专题练习）在直三棱柱（三条侧棱和底面均垂直的三棱柱叫作直三棱柱）中，若，，则异面直线与所成的角等于（ ） A． B． C． D． 【变式1】（2024·全国·一模）在正四面体的侧面三角形的高线中，垂足不在同一侧面上的任意两条所成角的余弦值是 ． 【变式2】（2023·湖南岳阳·模拟预测）如图，已知长方体的底面是边长为2的正方形，为其上底面的中心，在此长方体内挖去四棱锥后所得的几何体的体积为. (1)求线段的长； (2)求异面直线与所成的角. 考点二：直线与平面所成的角 设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ， 则(1)θ∈；(2)sin θ＝|cos〈a，n〉|＝. 易错提醒　(1)线面角θ与直线的方向向量a和平面的法向量n所成的角〈a，n〉的关系是〈a，n〉＋θ＝或〈a，n〉－θ＝，所以应用向量法求的是线面角的正弦值，而不是余弦值． (2)利用方程思想求法向量，计算易出错，要认真细心． 【例2】(2022·全国甲卷)在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，CD∥AB，AD＝DC＝CB＝1，AB＝2，DP＝. (1)证明：BD⊥PA； (2)求PD与平面PAB所成角的正弦值． 【变式1】(2023·泉州模拟)如图，三棱台ABC－A1B1C1中，AB＝BC＝2B1C1＝2，D是AC的中点，E是BC的中点． (1)证明：AB1∥平面DEC1； (2)已知AB⊥BC1，CC1⊥平面ABC.求直线BC1与平面DEC1所成角的正弦值的最大值． 【变式2】（2024·河北沧州·模拟预测）已知在三棱锥中，，则直线与平面所成的角的正弦值为（ ） A． B． C． D． 【变式3】（2024高三·全国·专题练习）如图所示，在三棱锥中，侧面与底面ABC垂直，． (1)求证：． (2)设，求与平面所成角的大小． 考点三：平面与平面的夹角 设平面α，β的法向量分别为u，v，平面α与平面β的夹角为θ， 则(1)θ∈； (2)cos θ＝|cos〈u，v〉|＝. 易错提醒　平面与平面夹角的取值范围是，两向量夹角的取值范围是[0，π]，两平面的夹角与其对应的两法向量的夹角不一定相等，而是相等或互补． 【例3】　(2023·新高考全国Ⅰ)如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4.点A2，B2，C2，D2分别在棱AA1，BB1，CC1，DD1上，AA2＝1，BB2＝DD2＝2，CC2＝3. (1)证明：B2C2∥A2D2； (2)点P在棱BB1上，当二面角P－A2C2－D2为150°时，求B2P. 【变式1】(2023·新高考全国Ⅱ改编)如图，三棱锥A－BCD中，DA＝DB＝DC，BD⊥CD，∠ADB＝∠ADC＝60°，E为BC的中点． (1)证明：BC⊥DA； (2)点F满足＝，求平面ABD与平面ABF夹角的正弦值． 【变式2】（2024高三·全国·专题练习）如图，在长方体中，已知，，，分别是线段，的中点，．分别记二面角，，的平面角为，，，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式3】（2024·云南昆明·模拟预测）如图，三棱台中，是边长为2的等边三角形，四边形是等腰梯形，且为的中点. (1)证明：； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求二面 ... ...