专题4 抽象函数问题【讲】 一、抽象函数基本概念 抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一个函数，由抽象函数构成的数学问题叫做抽象函数问题． 二、常见的抽象函数模型 性质（函数方程） 背景函数 一次函数 二次函数 幂函数 指数函数 对数函数 正切函数 ， 余弦函数 【反比例函数模型】 反比例函数：，则， 【一次函数模型】 （1）若，则； （2）若，则为奇函数； （3）若则； （4）若则； 【指数函数模型】 （1）若，则； （2）若，则； （3）若，则； （4）若，则； 【对数函数模型】 （1）若，则； （2）若，则； （3）若，则； （4）若，则； （5）若，则． 【幂函数模型】 （1）若，则； （2）若，则．代入则可化简为幂函数． 【余弦函数模型】 （1）若（不恒为），则； （2）若（不恒为），则． 【正切函数模型】 （1）若，则； （2）若（不恒为），则． 抽象函数问题能综合考查学生对函数概念和各种性质的理解，但由于其表现形式的抽象性和多变性，学生往往无从下手，这类问题是高考的一个难点，也是近几年高考的高频考点之一． 怎样求解抽象函数问题呢？我们可以利用特殊模型法、函数性质法、特殊化方法、联想类比转化法等多种方法，从多角度、多层面去分析研究抽象函数问题． 解决抽象函数问题有如下几个重要解题策略： 1．函数性质法： 先研究清楚函数的奇偶性、对称性和周期性等性质，这样函数就不再那么抽象了，而是变得相对具体，我们就可以画出符合性质的草图来解题． 2．特殊化法： 即根据已知条件，为了达到我们预期的目的进行适当的变换，其中包括适时的整体变换与具体数字的代换．根据对题目给出的抽象函数性质的理解，我们找到一个符合题意的具体函数或给变量赋值，把抽象函数问题化为具体的数学问题，从而问题得解． 3．模型法： 根据函数的结构特征，将抽象函数与一些常见的函数模型进行类比，利用具体的函数模型解决问题． 4．赋值法： 通过给变量赋予特殊值来获取函数的性质或关系． 5．构造新函数： 通过构造合适的新函数来解决问题． 6．函数方程思想： 将抽象函数转化为函数方程，运用方程的解法来处理． 7．迭代法： 通过反复运用函数的定义或运算规则来推导结果． 8．借助图像： 结合函数图像来理解和分析问题． 考向一 抽象函数的定义域问题 例1．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【典例解读】 【分析】根据抽象函数定义域的求法及分式和对数有意义，列出不等式组，即可求解． 【解析】由题意可知，要使有意义， 只需要，解得， ∴， ∴函数的定义域为．故选D． 【题后反思】 在解决这类问题时，关键是要理解定义域的含义，即自变量的取值范围． （1）已知函数的定义域为，求复合函数的定义域，只要解不等式“”即可； （2）已知函数的定义域，求复合函数的定义域，只要求值域； 【再练一个】 （2024重庆永川中学期末考试） 1．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 考向二 抽象函数得求值问题 例2．（2022年新高考卷第12题）（多选题）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（ ） A． B． C． D． 【典例解读】 【分析】方法一：转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项判断即可得解． 【解析】解法一：对称性和周期性的关系研究 对于，∵为偶函数，∴即①，∴，∴关于对称，则，故C正确； 对于，∵为偶函数，，，∴关于对称，由①求导，和，得，∴，∴关于对称，∵其定义域为R，∴，结合关于对称，从而周期，∴，，故B正确，D错误； 若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，∴无法确定的函数值，故A错误． 故选BC． 解法二：【 ... ...
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