【精品解析】2024年中考数学精选压轴题之四边形综合探究(二)

2024年中考数学精选压轴题之四边形综合探究(二) 一、实践探究题 1．（2024八下·慈溪期中） （1）问题提出 如图①，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，在BC上找一点D，使得AD将△ABC分成面积相等的两部分，作出线段AD，并求出AD的长度； （2）问题探究 如图②，点A、B在直线a上，点M、N在直线b上，且a∥b，连接AN、BM交于点O，连接AM、BN，试判断△AOM与△BON的面积关系，并说明你的理由； （3）解决问题 如图③，刘老伯有一个形状为筝形OACB的养鸡场，在平面直角坐标系中，O（0，0）、A（4，0）、B（0，4）、C（6，6），是否在边AC上存在一点P，使得过B、P两点修一道笔直的墙（墙的宽度不计），将这个养鸡场分成面积相等的两部分？若存在，请求出直线BP的表达式；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）解：如图①，取BC边的中点D，连接AD，则线段AD即为所求． 在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4， ∴BC＝， ∵点D为BC的中点， ∴AD＝BC＝． （2）解：S△AOM＝S△BON，理由如下： 由图可知，S△AOM＝S△ABM﹣S△AOB，S△BON＝S△ABN﹣S△AOB， 如图②，过点M作MD⊥AB于点D，过点N作NE⊥AB于点E， ∴MD∥NE，∠MDE＝90°， 又∵MN∥DE， ∴四边形MDEN是矩形， ∴MD＝NE， ∵S△ABM＝，S△ABN＝， ∴S△ABM＝S△ABN， ∴S△AOM＝S△BON． （3）解：存在，直线BP的表达式为：y＝x+4． 如图③，连接AB，过点O作OF∥AB，交CA的延长线于点F，连接BF，交OA于点G， 由（2）的结论可知，S△OBG＝S△AFG， ∴S四边形OACB＝S△BCF， 取CF的中点P，作直线BP，直线BP即为所求． ∵A(4，0)，B(0，4)，C(6，6)， ∴线段AB所在直线表达式为：y＝﹣x+4， 线段AC所在直线的表达式为：y＝3x﹣12， ∵OF∥AB，且直线OF过原点， ∴直线OF的表达式为：y＝﹣x， 联立，解得， ∴F（3，﹣3）， ∵点P是CF的中点， ∴P， ∴直线BP的表达式为：y＝x+4． 【知识点】平行线的性质；勾股定理；矩形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；一次函数的实际应用-几何问题 【解析】【分析】（1）根据AD将△ABC分成面积相等的两部分可知点D是BC的中点，利用勾股定理求出BC，然后根据直角三角形斜边中线的性质可得AD的长度； （2）根据同底等高的三角形面积相等可得S△ABM＝S△ABN，进而可得S△AOM＝S△BON； （3）连接AB，过点O作OF∥AB，交CA的延长线于点F，连接BF，交OA于点G，可得S四边形OACB＝S△BCF，取CF的中点P，作直线BP，直线BP即为所求，求出点P的坐标，进而可得直线BP的解析式． 2．（2024八下·沅江月考）已知四边形是菱形，直线经过点，且点右侧的部分在的下方，过点作于点，点是直线上一点且在点的右侧，连接，． （1）数学思考： 如图①，当的边都在的右侧时，线段之间的数量关系为； （2）猜想证明： 如图②，当的边分别在的两侧时，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； （3）拓展延伸： 若菱形的边长为13，，，请直接写出线段的长． 【答案】（1）解：如图，在上截取一点，使，连接， ， ，， ， ， 四边形是菱形， ， ， ，，， ， ， ， ， ， （2）解：不成立，理由如下： 如图，在上截取，连接，，交于， ，，， ， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， （3）解：第一种情况：如图： ， 在中，由勾股定理得， ， ， 在中，， ， 由（2）可得：， ； 第二种情况：如图： ， 同理可得：， 由（1）可得：， ； 综上所述，的长为或． 【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质；四边形的综合 【解析】【分析】（1） 在上截取一点，使，连接， 由线段垂直平分线的性质得到，进而得到，结合菱形的性质利用SAS证明，得到，从而求解； （2） 在上截取，连接，，交于， ... ...