2023学年第二学期浙江精诚联盟适应性联考 高三数学学科 参考答案及解析 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．A 解析：∵，∴，故选A． 2．B 解析：为常数项，则，所以，故选B． 3．D 解析：设，a，，则，．∴，，所以，故选D． 4．C 解析：若残留量不足初始量的50%，则，，两边取常用对数，，所以至少需要7年．故选C． 5．C 解析：当时，，得；当时， ，得，易得“”，是“”，的充要条件，故选C． 6．A 解析：∵， ∴，∴，故选A． 7．A 解析：集合A中的函数为奇函数的有，，，而有单调递减区间的函数有和，所以概率为，故选A． 8．A 解析：设，由易得，又，，∴，又，∴，在中，．在中，，∵，解得，故选A． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．AD 解析：对于A选项，原数据的平均数为8，插入一个数8，平均数不变，正确； 对于B选项，取，，原数据的中位数为9，新数据的中位数为8.5，错误； 对于C选项，新数据的方差为，错误； 对于D选项，因为，所以8不是最值，故新数据的极差不变，正确．故选AD． 10．ABD 解析：对于A选项，由平面与平面垂直的性质定理可知，A正确； 对于B选项，在内作的垂线，则此垂线必垂直于，自然也就垂直内的已知直线．这种垂线可以作无数条，所以B正确； 对于C选项，b与所成的角为，但b与的位置关系不确定，特殊情况下可以是，所以C错误；对于D选项，由最小角定理可知，D正确．故选ABD． 11．ABD 解析：取，ABD正确，C显然错误． 对于不等式，当且仅当时，等号成立， 对于A选项，令，所以， 故， 其中 ，所以，A正确； 对于B选项，将x替换为，可得，当且仅当时等号成立．令，可得，所以， 故， 得，所以，所以B正确； 对于D选项，等价于证明，将中的x替换为，其中，，则，则，故，当且仅当时，等号成立，则，D正确．故选ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 解析：由，X服从正态分布，故． 13．4051 解析：因为函数为定义在R上的奇函数，所以函数关于中心对称，． 14．25 解析：设的外接圆圆心为O，取弦的中点H，，则因为的最大值为48，所以．由圆的相关知识可知，当P、H、O三点共线时最大．在中，，所以圆的半径为5，所以的面积的最大值为25． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（1）易知定义域为R，， 所以，，，． 故单调增区间：，单调减区间：． （2）因为，， 所以曲线在点处的切线为 把切线方程代入二次曲线方程，得有唯一解， 即且，即 解得或． 16．（1）作的中点D，连接，，连接，，， 因为点D，F分别为，的中点， 所以，且， 又由三棱柱的定义，结合点E为的中点可知： ，且， 所以四边形是平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 所以当P是线段的中点时，点P到平面的距离等于点E到平面的距离； 因为， ，所以， 由平面平面，且平面平面， 因为平面，所以平面， 又平面，所以，所以是三棱锥的高， 所以， 又，， 设点E到平面的距离为d，则，解得． 即点P到平面的距离为． （2）以为x轴，为y轴，为z轴建立空间直角坐标系， ，，，，， 所以，，，， 设，则， 设平面的一个法向量， 则有，所以， 设平面的一个法向量， 则有，所以， 所以， 解得或（舍去）． 所以，即的长为． 17．解析：（1）设公比为q，公差为d，则， 解得或（舍去） 所以，． （2） 所以 故 得，（一个裂项正确得2分，两个正确得3分） 所以． 18．解析：（1）∵实轴长为4 ∴即，又∵右焦点到渐近线距离为1，∴， 故双曲线的标准方程为． （2）（i）设，切 ... ...
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