天津市第四十七中学2023-2024学年高一下学期5月期中考试数学试题（原卷版+解析版）

天津市第四十七中学2023-2024学年高一下学期5月期中考试数学试题 第Ⅰ卷（共三部分；满分150分） 一、选择题 1. 已知复数，则其共轭复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接计算可得结果. 【详解】因为. 所以. 所以的虚部为. 故选：A 2. 圆锥的轴截面是正三角形，那么它的侧面积是底面积的（ ） A. 4倍 B. 3倍 C. 倍 D. 2倍 【答案】D 【解析】 【分析】设出圆锥的底面半径和母线，根据轴截面是正三角形，明确与的关系，再代入圆锥的侧面积公式可得答案. 【详解】设圆锥的底面半径为，因为圆锥的轴截面是正三角形，所以母线， 所以：. 故选：D 3. 已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，对于下列四个命题： ①；②； ③；④． 其中正确命题的个数有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】A 【解析】 【分析】根据线、面位置关系结合线、面平行的判定定理分析判断. 【详解】对于①：因为面面平行的判定定理要求相交，若没有，则可能相交，故①错误； 对于②：因为线面平行的判定定理要求，若没有，则可能，故②错误； 对于③：根据线、面位置关系可知：//，或异面，故③错误； 对于④：根据线、面位置关系可知：//，或异面，故④错误； 故选：A. 4. 一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，如图所示，，则原平面图形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】在直观图中求出的长，再还原平面图，即可求出相应的线段的长度，从而求出面积. 【详解】如图，在直观图中过点，作交于点， 因为， 所以，，即 将直观图还原为平面图如下： 则，，， 所以. 故选：A 5. 一个正方体表面积与一个球表面积相等，那么它们的体积比是 (　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设正方体的棱长为a,球的半径为R， 由6a2＝4πR2得＝，故 故答案为A． 6. 为所在平面内一点，且满足，则是的（ ） A. 内心 B. 外心 C. 重心 D. 垂心 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律计算判断得解. 详解】依题意，， ， ， 则，于是， 所以是的外心. 故选：B 7. 以下4个命题，其中正确的命题的个数为（ ） （1）在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数； （2）在中，角所对的边分别是，则是的充分必要条件； （3）已知向量，若，，则； （4）在平面内，三点在同一条直线上，点是平面内一点，若，则. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】考虑0在虚轴上，判断（1）的真假；利用正弦定理，判断（2）的真假；考虑判断（3）的真假；利用向量共线判断（4）的真假. 【详解】对（1），因为0在虚轴上，但0是实数，故（1）错误； 对（2），由正弦定理：可得，故（2）正确； 对（3），若，则与未必平行，故（3）错； 对（4），因为三点共线，所以存在实数，使得， 令，则且，故（4）正确. 所以正确的命题是（2）（4） 故选：C 8. 已知球O为正三棱柱的外接球，正三棱柱的底面边长为1，高为3，则球O的表面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】外接球球心为正三棱柱上下底面的外接圆圆心连线的中点，先求出底面外接圆半径，再由勾股定理即可求出外接球半径. 【详解】解：设三棱柱的高为h，底边边长为a．设球O的半径为R， 则三棱柱底面三角形的外接圆半径满足：，解得： 由题知，， ， 故球O的表面积为， 故选：B. 9. 在中，角，，所对的边分别为，，．已知的面积为S，，，，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由及面积公式与正弦定理求得， 由得，由平方结合二次函数求的最小值. 【详解】，， 由正弦定理得， ，， ， ，. ，，当且仅当时取等号. ， . . 故选：D 二、填空题 10. 设 是虚数单位，复数为纯虚数，则实数为____ ... ...