2023-2024学年上海市黄浦区向明中学高二（下）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年上海市黄浦区向明中学高二（下）期中数学试卷 一、单选题：本题共4小题，每小题4分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知抛物线上一点的横坐标为，则点到焦点的距离为( ) A. B. C. D. 2.已知函数在处有极小值，则的值为( ) A. B. C. 或 D. 或 3.已知点为正方体内部不包含表面的一点给出下列两个命题： ：过点有且只有一个平面与和都平行； ：过点至少可以作两条直线与和所在的直线都相交． 则以下说法正确的是( ) A. 命题是真命题，命题是假命题 B. 命题是假命题，命题是真命题 C. 命题，都是真命题 D. 命题，都是假命题 4.已知直线：与：相交于点，线段是圆：的一条动弦，且，则的最小值为( ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分。 5.已知圆锥的母线长为，底面半径为，则圆锥的体积为_____． 6.两条直线与平行，则实数 _____． 7.已知焦点在轴上的椭圆离心率为，则实数等于_____． 8.设函数的导函数为，若，则 _____． 9.在正四棱柱中，，，则异面直线与所成角的余弦值为_____． 10.双曲线的两条渐近线夹角的余弦值为_____． 11.已知函数，则 _____． 12.若对任意实数，直线与圆至少有一个交点，则实数的取值范围是_____． 13.图为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径，深度，信号处理中心位于焦点处，以顶点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，若是该抛物线上一点，点，则的最小值为_____． 14.如图为正六棱柱，若从该正六棱柱的个侧面的条面对角线中，随机选取两条，则它们共面的概率是_____． 15.若函数在上是严格单调函数，则实数的取值范围为_____． 16.已知双曲线的焦点分别为，，为双曲线上一点，若，，则双曲线的离心率为_____． 三、解答题：本题共5小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 已知车辆启动后的一段时间内，车轮旋转的角度和时间单位：秒的平方成正比，且车辆启动后车轮转动第一圈需要秒． 求车轮转动前秒的平均角速度； 求车轮在转动开始后第秒的瞬时角速度． 18.本小题分 如图，在三棱柱中，平面，，，的中点为． 求直线与平面所成角； 求点到平面的距离． 19.本小题分 已知双曲线过点且与双曲线有共同的渐近线，，分别是的左、右焦点． 求的标准方程； 设点是上第一象限内的点，求的取值范围． 20.本小题分 如图，将一根直径为的圆木锯成截面为矩形的梁矩形的高为，宽为已知梁的抗弯强度为． 将表示为的函数，并写出定义域； 求的值使得抗弯强度最大． 21.本小题分 双曲线的离心率为，圆：与轴正半轴交于点，点在双曲线上． 求双曲线的方程； 过点作圆的切线交双曲线于两点、，试求的长度； 设圆上任意一点处的切线交双曲线于两点、，试判断是否为定值？若为定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由． 答案和解析 1.【答案】 【解析】解：由题意抛物线的准线为，的横坐标为， 点的纵坐标为， 所以点到焦点的距离即点到抛物线准线的距离为． 故选：． 由题意求得抛物线准线方程以及点纵坐标，再结合抛物线定义即可求解． 本题考查了抛物线的标准方程及其应用，考查了计算能力，属于基础题． 2.【答案】 【解析】解：在处有极小值，， ，解得或， 当时，， 在、上单调递增，在上单调递减， 在处取得极小值，符合题意； 当时，， 在、上单调递减，在上单调递增， 在处取得极大值，不符合题意． 故选：． 利用函数在极值处的导数值为求得的值，再利用函数的单调区间检验即可． 本题考查导数研究函数的单调性和极值，属于中档题． 3.【答案】 【解析】解：如图， 点为正方体内部不包含表面的一点， ，，由与可确定一个平面，在该平面内过作直线 ... ...