《导数及其应用》检测试卷（附答案）
组卷网，总分：150分 考试时间：120分钟 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。) 1. 曲线 在点 处切线的斜率为 A. 1 B. -1 C. 0 D. -2 2. 函数 的单调增区间为 ( ) A. B. C. D. 3. 已知 ,则当 时, A. 3 B. 12 C. 32 D. 48 4. 已知函数 和 在区间 上的图象如图所示,那么下列说法正确的是 ( ) (第 4 题) A. 在 内的平均变化率大于 在 内的平均变化率 B. 在 内的平均变化率小于 在 内的平均变化率 C. 对于任意 ,函数 在 处的瞬时变化率总大于函数 在 处的瞬时变化率 D. 存在 ,使得函数 在 处的瞬时变化率小于函数 在 处的瞬时 变化率 5. 下列求导运算正确的是 ( ) A. B. C. D. 6. 设函数 ,则下列说法正确的是 ( ) A. 有极大值 B. 有极小值 C. 有极大值 D. 有极小值 7. 如图,已知 ,记 ,则当 时. 的大致图象为 A B C D 8. 已知函数 对任意 ,都有 成立,则 的最小值为 ( ) A. 1 B. C. e D. 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。) 9. 已知函数 及其导函数 ,若存在 ,使得 ,则称 是 的一个“巧值点”, 则下列函数中有“巧值点”的是 ( ) A. C. 10. 已知函数 的定义域为 ,则 A. 为奇函数 B. 在 上单调递增 C. 恰有 4 个极大值点 D. 有且仅有 4 个极值点 11. 关于函数 ,下列判断正确的是 ( ) A. 是 的极大值点 B. 函数 有且只有 1 个零点 C. 存在正实数 ,使得 成立 D. 对任意两个正实数 ,且 ,若 ,则 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分。) 12. 13. 若曲线 在点 处的切线 与直线 垂直,则切线 的方程为. 13.若函数 的单调减区间为 ,则 . 14. 若函数 在 上单调递减,则实数 的取值范围为. 四、解答题(本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15. （12分）求下列函数的导数: (1) ; (2) ; (3) . 16. （15分）已知曲线 . (1) 求 在点 处的切线方程; (2) 求 在 上的极值. 17. （16分）已知函数 . (1) 当 时,证明: ; (2) 若 在 上有且只有一个零点,求 的范围. 18. （16分）图 (a) 是一枚清朝同治年间的铜钱, 其边框是由大小不等的两同心圆围成的, 内嵌正方形孔的 中心与同心圆圆心重合, 正方形外部, 圆框内部刻有四个字“同治重宝”. 某模具厂计划仿制这样的铜钱 作为纪念品,其小圆内部图纸设计如图 (b) 所示,小圆直径为 ,内嵌一个大正方形孔,四周是四个 全等的小正方形 (边长比孔的边长小), 每个正方形有两个顶点在圆周上, 另两个顶点在孔边上, 四个小 正方形内用于刻铜钱上的字. 设 ,五个正方形的面积和为 . (第 18题) (1) 求面积 关于 的函数表达式,并求 的范围; (2) 求面积 的最小值. 19. （18分）设函数 . (1) 当 时,求 的最小值; (2) 若 在 上恒成立,求 的取值范围. 参考答案 一、选择题 1. C 2. D 3. D 4. D 5. D 6. B 7. C 8. B 9.ACD 11. BD 12. BD 二、填空题 13. 或 三、解答题 15. (1) . (2) . (3) . 16. (1) , 所以 在点 处的切线方程为 ,即 . (2) . 令 可得 或 . 当 变化时, 的变化如下表所示, 3 0 - 0 + 递增 极大值 递减 极小值 递增 所以 在 处取得极大值 ,在 处取得极小值 . 17. (1) 当 时, . 令 ,则 . 当 时, ,当 时, , ,故 ,即 ,故得证. (2) 依题意,方程 在 上只有一个解,记 , ,则函数 与 的图象在 上有且仅有一个交点. 又 在 上恒成立,故函数 在 上单调递增, (1)当 时,函数 在 上单调递增,在 上单调递减, 且 ,如图所示. 显然,此时函数 与 的图象在 上有且仅有一个交点,即 有且只有一个零点,符合题意. (2)当 时, ,显然 ... ...
