武汉市洪山高级中学2024届高三高考第 2 次模拟考试 数 学 试 卷 2024.05.16 ★祝考试顺利★ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知为虚数单位，且与互为共轭复数，则（ ） A． B． C． D． 2．直线，直线，给出下列命题： ①，使得； ②，使得； ③，与都相交； ④，使得原点到的距离为. 其中正确的是（ ） A．①② B．②③ C．②④ D．①④ 3．函数的图象大致是（ ） A． B． C． D． 4．同时投掷甲、乙两枚质地均匀的骰子，记“甲骰子正面向上的点数为奇数”为事件，“乙骰子正面向上的点数为偶数”为事件，“甲、乙两骰子至少出现一个正面向上的点数为偶数”为事件，则下列判断错误的是（ ） A．互为独立事件 B．为互斥事件 C． D． 5．空间点，则点到直线的距离（ ） A． B． C． D． 6.如图，在直角梯形中，，，，，图中圆弧所在圆的圆心为点，半径为，且点在图中阴影部分（包括边界）运动．若，其中，，则的最大值为 A． B． C．2 D． 7.设，则的大小关系是（ ） A． B． C． D． 8.已知椭圆的右焦点和上顶点分别为点和点A，直线交椭圆于P，Q两点，若F恰好为的重心，则椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分.共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.水车是我国劳动人民创造发明的一种灌溉工具，作为中国农耕文化的组成部分，充分体现了中华民族的创造力，见证了中国农业文明．水车的外形酷似车轮，在轮的边缘装有若干个水斗，借助水势的运动惯性冲动水车缓缓旋转，将水斗内的水逐级提升．如图，某水车轮的半径为6米，圆心距水面的高度为4米，水车按逆时针方向匀速转动，每分钟转动2圈，当其中的一个水斗A到达最高点时开始计时，设水车转动t（分钟）时水斗A距离水面的高度（水面以上为正，水面以下为负）为（米），下列选项正确的是（ ） A． B． C．若水车的转速减半，则其周期变为原来的 D．在旋转一周的过程中，水斗A距离水面高度不低于7米的时间为10秒 10.斐波那契数列又称黄金分割数列,因意大利数学家列昂纳多-斐波那契以兔子繁殖为例子而引人,故又称为“兔子数列”,在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有直接的应用.在数学上,斐波那契数列被以下递推的方法定义:数列满足:,.则下列结论正确的是（ ） A． B．是奇数 C． D．被4除的余数为0 11.如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是，，的中点，Q是线段上的动点，则（ ） A．存在点Q，使B，N，P，Q四点共面 B．存在点Q，使平面MBN C．过Q，M，N三点的平面截正方体所得截面面积的取值范围为 D．经过C，M，B，N四点的球的表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分.共15分. 12.已知从小到大排列的一组数据：1，5，a，10，11，13，15，21，42，57，若这组数据的极差是其第30百分位数的7倍，则a的值为 . 13.已知函数的定义域为，其导函数为，若.，则关于x的不等式的解集为_____. 14.如图，用一个平面去截圆锥，得到的截口曲线是椭圆.在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面相切.椭圆截面与两球相切于椭圆的两个焦点，.过椭圆上一点作圆锥的母线，分别与两个球相切于点.由球和圆的几何性质可知，，.已知两球半径分为别和，椭圆的离心率为，则两球的球心距离为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.在中，已知. (1)求证：； (2)若D为AB的中点，且，，求的面积. 16.在正四棱柱中，为中点，直线与平面交于点． (1)证明：为的中点； (2)若直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值． 17.已知椭圆的离心率为，以C的短轴为直径 ... ...
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