河南省信阳高级中学2023-2024学年高三三模（A） 数学答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 B C A A A D D B BC BC ACD 12． 13． 14.16 15．(1)；(2)18 （1）因为， 由正弦定理可得， 则， 注意到，则，可得， 且，则， 可得， 则， 又因为，则，可知， 可得，， 所以. （2）由（1）可得：， 因为，在中，可得，， 又因为，可得， 则， 在中，由余弦定理， 即，解得，可知， 所以的面积. 16．（1）；（2）证明见解析. （1）由题意，函数，可得， 因为有两个极值点， 即方程在有两个不同的解， 即与的图象的交点有两个. 由，当时，，单调递增； 当时，，单调递减，有极大值. 又因为时，；时，， 当时，即时有两个解，所以 （2）由函数 可得，则，所以在单调递增， 若时， 当时，.在上单调递减； 当时，.在上单调递增； 所以在处取得极小值 若，令，则； 令，则 所以在，有唯一解； 若，令，则， 令，则，所以在，有唯一解； 所以在有唯一解， 当时，，在单调递减； 当时，，在单调递增； 所以， 令，则， 由，可得， 当时，，在单调递增； 当时，，在单调递减， 所以，即的极小值不大于1. 17．(1)证明见详解；(2)或 （1）由题意可知：，，平面， 可得平面， 且，以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 可得， 设， 则， 若，则，， 由题意可知：平面的法向量， 因为，且平面， 所以∥平面. （2）由（1）可得：， 设平面的法向量，则， 令，则，可得， 由题意可得：， 整理得，解得或， 所以或，即线段BF的长为或. 18．(1)；(2)；(3)证明见解析 （1）设“甲在第i轮活动中猜对成语”，“乙在第i轮活动中猜对成语”， “甲乙在第i轮活动中都都猜对成语”，， 则 故 （2）由题意知，1，2， 由（1）知， ， 故X的信息熵 （3）第二轮甲猜对的概率为， 第二轮乙猜对的概率为， 所以，， 每一轮甲乙都猜错的概率为， 因此， 则① 所以，② ①②得， 所以. 关键点点睛：根据全概率公式公式得，，由期望公式可得的表达式，将其转化为数列求和，利用错位相减求数列的和是本题的关键所在. 19．(1)；(2)证明见解析；(3)存在点. （1）由题意，得解得所以椭圆的方程为． （2） 证明：设． 又，所以可设直线的方程为． 联立椭圆方程与直线的方程，得 消去，得． 又，所以，可得． 由根与系数的关系，得，则， 所以，同理，得． 从而直线的斜率． 又， 所以，即，为定值． （3）由（2）可得直线的方程为． 由椭圆的对称性可知，若直线恒过定点，则此定点必在轴上， 所以令，得． 故直线恒过定点，且点的坐标为． 因为，垂足为，且，所以点在以为直径的圆上运动． 故存在点，使．河南省信阳高级中学2023-2024学年高三三模（A） 数学试题 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意. 1.集合，若的充分条件是，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 2.已知，则 A.0 B. C. D.1 3.已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出下列结论，其中正确结论的个数是 ①若，且，则 ③若，且，则 ②若且，则 ④若，且，则 A.1 B.2 C.3 D.4 4.已知向量和满足，，，则向量在向量上的投影向量为 A. B. C. D. 5.函数在区间的图象大致为 A. C. B. D. 6.已知等比数列的前项和为，若，且成等差数列，则 A. B. C. D. 7.设为双曲线：（，）的右焦点，直线：（其中为双曲线的半焦距）与双曲线的左、右两支分别交于，两点，若，则双曲线的离心率是 A. B. C. D. 8.已知，且，其中e为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的是 A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列结论中，正确 ... ...
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