常德市普通高中沅澧共同体2024届高三第一次联考（数学试题卷） 时量：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次不等式化简集合，即可由集合的交运算即可求解. 【详解】由得， 所以， 故选：C 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由充分条件和必要条件的定义求解即可. 【详解】，或， 所以前者可以推得后者，后者不能推得前者， 则“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3. 已知等比数列中，，，则公比为（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】直接使用已知条件及公比的性质得到结论. 【详解】. 故选：C. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】使用诱导公式和二倍角公式，结合已知条件即可求解. 【详解】 . 故选：A. 5. 已知三棱锥中，平面，4，3，，7，则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意画出图形，利用正弦定理求出的外接圆的半径，再由勾股定理求出三棱锥外接球的半径，代入球的表面积公式得答案． 【详解】如图， 设的外心为，过作底面的垂线，使，则为三棱锥的外接球的球心， 中，由3，，7，得， 故，设的外接圆的半径为， 则，， ． 三棱锥外接球的表面积为． 故选：B 6. 已知抛物线方程为:，焦点为.圆的方程为，设为抛物线上的点， 为圆上的一点，则的最小值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线定义将点到焦点的距离转化为点到直线的距离，即，从而得到，三点共线时和最小；再由在圆上，得到最小值. 【详解】 由抛物线方程为，得到焦点，准线方程为，过点做准线的垂线，垂足为， 因为点在抛物线上，所以， 所以，当点固定不动时，三点共线，即垂直于准线时和最小， 又因为在圆上运动，由圆的方程为得圆心，半径，所以， 故选：C. 7. 将三个分别标注有 ，x，的三个质地均匀的小球放入一个不透明的小盒中.无放回的随机取出2个小球（每次取一球），分别记录下小球的标注为.若 ，则在上单调递减的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数求解函数的单调性，即可由古典概型概率公式求解. 【详解】若，由均为上的单调递增函数，且为正，故为上的单调递增函数， 若，则时，，故为上的单调递减函数， 若，则时，，故为上的单调递减函数， 故在上单调递减的概率为, 故选：D 8. 已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且满足．若恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先利用方程组法求出、的解析式，再判断的单调性，则问题转化为恒成立，参变分离求出，即可得解. 【详解】因为，分别是定义在上的偶函数和奇函数， 所以，， 因为，① 所以， 所以，② ①②得，， 因为在定义域上单调递增，在定义域上单调递减， 所以在上单调递增，又， 若恒成立，则恒成立， 所以恒成立， 所以恒成立， 所以只需， 因为，，所以（当且仅当，即时取等号）， 所以（当且仅当时，取等号）， 所以， 所以的取值范围为. 故选：B． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知关于x的方程 的两复数根为和则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】在复数范围内解方程得，，然后根据复数的概念、运算判断各选项． 【详解】，， 不妨设，， ，故A正确； 由韦达定理可得，故B错误； ，故C正确； ... ...
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