大亚湾一中2023-2024学年第二学期期中检测 高一数学试卷 审核人：高一数学备课组 2024年5月14日 本试卷共4页，19题，满分150分。考试用时120分钟。 单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 已知a为实数，若复数z=为纯虚数，则复数z的虚部为（ ） A.3 B.6i C.±3 D.6 2. 已知等于（ ） A. B. C. D. 3. 若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为（ ） A.1:2 B. C. D. 4. 已知△ABC的面积为2，AB=2，∠B=，则（ ） A. B. C. D.2 5. 如图，某建筑物的高度BC=300m，一架无人机Q（无人机的大小忽略不计）上的仪器观测到建筑物顶部C的仰角为15°，地面某处A的俯角为45°，且∠BAC=60°，则此无人机距离地面的高度PQ为（ ） A.100m B.200m C.300m D.400m 6. 已知三棱锥P-ABC中，若PA，PB，PC两两互相垂直，作PO⊥平面ABC，垂足为O，则点O是△ABC的（ ） A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 7. 在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若满足条件c=4，∠B=60°的三角形的解有两个，则b的长度范围是（ ） A.（0,2） B.（2,4） C. D. 8 如图，二面角的大小是60°，线段ABAB与l所成的角为30°，则AB与平面β所成的角的正弦值是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每个小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的。全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分。 9. 下面是关于复数（i为虚数单位）的命题，其中真命题为（ ） A.|z|=2 B. C.z的共轭复数为1+I D.z的虚部为-1 10. 若P是两条异面直线l，m外的任意一点，则下列命题错误的是（ ） A.过点P有且仅有一条直线与l，m都平行 B.过点P有且仅有一条直线与l，m都垂直 C.过点P有且仅有一条直线与l，m都相交 D.过点P有且仅有一条直线与l，m都异面 11. 如图，在四棱锥P-ABCD中，地面ABCD是菱形，∠DAB=60°，侧面PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，则下列说法正确的有 A.在棱AD上存在点M，使AD⊥平面PMB B.异面直线AD与PB所成的角为90° C.二面角P-BC-A的大小为45° D.BD⊥平面PAC 三、填空题：（本大题共3小题，每题5分，共计15分，一题两空，前一空2分，后一空3分） 12. 在复平面内，把与复数对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转90°后，则所得向量对应的复数为 （用代数形式表示）。 13. 在古书《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体成为鳖臑。在鳖臑A-BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，且AB=BC=CD=2，则鳖臑A-BCD的外接球的表面积为 。 14. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sinAsinBcosC=，则= ，sinC的最大值为 。 四、解答题：共77分。解答时应写出文字说明、解答过程或演算步骤。 15. （本小题13分） 已知复数z=1+i （1）设，求； （2）若，求实数a，b的值。 16. （本小题15分） 如图，在三棱锥P-ABC中，PC⊥底面ABC，AB⊥BC，D，E分别是AB，PB的中点。 求证：（1）DE∥平面PAC； （2）AB⊥PB。 17. （本小题15分） 如图所示，在平行四边形ABCD中，已知AB=3，AD=2，∠BAD=120°。 （1）求的模； （2）若的值。 18. （本小题17分） 在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答。 已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若 。 （1）求角B； （2）若a+c=4，求△ABC周长的最小值。 19. （本小题17分） 如图1，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠D=90°，AB=，AD=DC=，现将梯形ABCD沿对角线AC折成直二面角D-AC-B，如图2. （1）求证：AD⊥平面BCD； （2）求二面角D-AB-C的正切值。 ... ...
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