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课件网) §4.1正弦函数和余弦函数的概念 第一章 三角函数 在初中我们就学过三角函数，例如， … 但初中所学的三角函数是有很大局限性的，如图所示的角，该如何求它们的正弦函数值和余弦函数值呢？ 要解决这个问题，我们就得对三角函数的概念进行推广. 初中我们学过，在直角三角形ABC中，∠C=90°，sinα，cosα，tanα分别叫做锐角α的正弦、余弦和正切，它们的值分别等于什么？ A B C α 探究点1 锐角的正弦函数和余弦函数 当α不是锐角时，α的正弦、余弦和正切值又该怎么计算？ 对于锐角α，角α的终边与单位圆交于点P(u,v),故u是由锐角唯一确定的，v也是由锐角α唯一确定的. 过点P向x轴作垂线,垂足为M.在Rt OMP中,OP=1,OM=u, MP=v,有 由此可知，对于锐角α来说，点P的纵 坐标v是该角的正弦函数值，记作v=sinα; 点P的横坐标u是该角的余弦函数值，记作u=cosα. 给定任意角α，作单位圆，角α的终边与单位圆的交点为P(u,v),点P的纵坐标v、横坐标u都是唯一确定的. 仿照上述锐角三角函数的定义，把点P的纵坐标v定义为角α的正弦值，记作v=sinα;把点P的横坐标u定义为 角α的余弦值,记作u=cosα. 探究点2 任意角的正弦函数和余弦函数 如果角的大小用弧度表示，那么，正弦v=sinα，余弦u=cosα分别是以角的大小为自变量，以单位圆上的点的纵坐标、横坐标为函数值的函数，其定义域为全体实数，其值域为实数的子集合.这样定义的正弦函数和余弦函数就与高中引入的函数概念一致了. 任意角的正弦函数和余弦函数的定义： 对于每一个角，都有唯一的一个点坐标与之对应， 在弧度意义下，，称 为角的正弦函数， 为角的余弦函数. 一、任意角的正弦函数和余弦函数 例1 在单位圆中， . (1)画出角α； (2)求角α的正弦函数值和余弦函数值. 解(1)以原点为角的顶点,以x轴的非负半轴为始边，顺时针旋转 .与单位圆交于点P,过点P作x轴的垂线交x轴于点M.于是 即为所作的角. (2)设点P(u,v),则 一、 利用定义求已知角的正弦和余弦值 二、正弦函数值和余弦函数值的符号 正余弦函数在各象限内的符号(取值的正负)： 取决于终边上的点P(x,y)所在的位置， 当点P在第一、二象限时，纵坐标y>0， 当点P在第三、四象限时，纵坐标y<0. 所以，正弦函数值对于第一、二象限角是正的，对于第三四象限角是负的.同理，余弦函数值在第一四象限角是正的，在第二、三象限角是负的. 一均正、二正弦、三均负、四余弦 例2：若α＝2，则( ) A．sin α＞0且cos α＞0 B．sin α＞0且cos α<0 C．sin α＜0且cos α＜0 D．sin α＜0且cos α>0 解：因α＝2是第二象限角，所以sin α＞0，cos α<0. 故选B. 1.点（cos 2 019°，sin 2 019°）在平面直角坐标系中位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 跟踪训练 Ｃ 2.如果点（sin cos ，2cos ）位于第二象限，那么角在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 D 已知任意角α终边上除原点外的一点Q(x,y),求角α的正弦函数值、余弦函数值. 解 先考虑角α的终边不在坐标轴上的情况. 设角α的终边与单位圆交于点P，则点P的 坐标为(cosα,sinα),且OP=1.点Q(x,y)在角α 的终边上,则OQ= . 分别过点P,Q作x轴的垂线PM，QN垂足为M,N. 易知△POM∽△QON.所以 ，即 . 因为点P和点Q在同一象限，所以sinα和y的符号相同，于是得到 . 同理, .当角α的终边在坐标轴上时，容易验证上述等式仍然成立. 抽象概括 设角终边上除原点外的一点Q（x，y），则 抽象概括 设角终边上除原点外的一点Q（x，y），则 1.已知角的终边上一点（-3，4），则cos ＝（ ） A.- B.- C. D. A 三 由终边或终边上的点求正弦值和余弦值 例3 （1）已知角的终边经过点，求 ... ...
