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课件网) 3.1 平方根 第3章 实 数 知识点 平方根及其性质 知1－讲 感悟新知 1 1. 定义：如果有一个数r，使得r2=a，那么我们把r 叫作a 的一个平方根，也叫作二次方根. 这就是说，若r2=a，则r 是a 的一个平方根. 表示方法：非负数a的平方根记作± ，读作“正、负根号a”. 知1－讲 感悟新知 2. 平方根的性质： (1)正数有两个平方根，它们互为相反数； (2)0 的平方根是0； (3)负数没有平方根. 3. 开平方：求一个非负数的平方根的运算，叫作开平方. 知1－讲 感悟新知 特别解读 1. 平方根的定义中a是非负数，即a ≥ 0. 2. 平方与开平方是互逆运算，平方的结果叫作幂，而开平方的结果叫作平方根. 感悟新知 知1－练 求下列各数的平方根： (1)121；(2) ；(3)(－13)2；(4)－(－4)3. 例 1 解题秘方：先根据平方运算找出平方等于这个数的数，然后根据平方根的定义确定. 感悟新知 知1－练 方法点拨 求一个正数的平方根的方法： 先找出平方等于这个正数的数，这样的数有两个，它们互为相反数，因而这两个数均为这个正数的平方根. 如果一个数为带分数，一般先将其化为假分数，再求平方根；如果有平方运算，那么先求出平方运算的结果，针对结果再求平方根；如果一个正数a 不能写成有理数的平方的形式，那么可以将a 的平方根表示成± . 感悟新知 知1－练 解：(1)因为(±11)2=121， 所以121 的平方根是±11. 带分数要先化成假分数，再求平方根 感悟新知 知1－练 (3)(－13)2=169，因为(±13)2=169， 所以(－13)2 的平方根是±13. (4)－(－4)3=64，因为(±8)2=64， 所以－(－4)3 的平方根是±8. 感悟新知 知1－练 求下列各式中x 的值： (1)x2=25；(2)25x2=36；(3)(3x－1)2=(－5)2. 解题秘方：若x2=a(a ≥ 0)，则x=± . 先把各题化为x2=a 的形式，再求x 的值. 例2 感悟新知 知1－练 方法点拨 利用平方根的定义解方程的一般步骤： 第一步：移项，使含未知数的项在等号的一边，常数项在等号的另一边； 第二步 ：系数化为1，将方程化为“x2=a”的形式； 第三步：根据平方根的定义求出未知数x 的值. 感悟新知 知1－练 解：(1)因为x2=25，所以开平方，得x=± =±5. (2)因为25x2=36，所以x2= 所以开平方，得x= 感悟新知 知1－练 (3)因为(3x－1)2=(－5)2， 所以开平方，得3x－1=±5. 当3x－1=5 时，x=2；当3x－1=－5 时，x=－ 综上所述，x=2 或x=－ 感悟新知 知1－练 (1)[月考·长沙] 若一个正数的两个平方根分别为a－1，2a+7，请先化简再求值：2(a2－a+1)－(a2－2a)+3． (2)已知2a+3 的平方根是±3，5a+2b－1 的平方根是±4，求3a+2b 的平方根. 例 3 解题秘方：根据平方根的性质列方程(组)求解. 感悟新知 知1－练 解法提醒 一个正数的平方根有两个，这两个平方根互为相反数. 感悟新知 知1－练 解：(1)∵一个正数的两个平方根分别为a－1，2a+7， ∴(a－1)+(2a+7)=0，解得a=－2． 2(a2－a+1)－(a2－2a)+3 = 2a2－2a+2－a2+2a+3 = a2+5. 当a=－2 时，原式=(－2)2+5=9． 感悟新知 知1－练 (2)∵ 2a+3 的平方根是±3，5a+2b－1 的平方根是±4， ∴ ∴ 3a+2b=3×3+2×1=11. ∵ 11 的平方根是± ， ∴ 3a+2b 的平方根是± . 知识点 算术平方根及其性质 知2－讲 感悟新知 2 1. 定义：正数a 的正平方根叫作a 的算术平方根. 规定：0 的算术平方根是0. 表示方法：非负数a 的算术平方根记作 ，读作“根号a”. 特别解读：(1)算术平方根 具有双重非负性：①根号内的数a 是非负数，即a ≥ 0；②算术平方根 是非负数，即 ≥ 0. (2)算术平方根是它本身的数只有0 和1. 知2－讲 感悟新知 特别提醒 ◆求一个正数的算术平方根与求一个正数的平方刚好是互逆的两个运算. ◆任何一个数的平方都是非负数，所以求算术平方根 ... ...
