2023-2024学年福建省厦门外国语学校高一（下）期中数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知为虚数单位，若复数，则的虚部是( ) A. B. C. D. 2.水平放置的的直观图如图所示，是中边的中点，且平行于轴，则，，对应于原中的线段，，，对于这三条线段，正确的判断是( ) A. 最短的是 B. 最短的是 C. D. 3.在中，角，，所对边分别为，，，且，( ) A. B. 或 C. D. 或 4.设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是( ) A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 5.中，、、分别是内角、、的对边，若且，则形状是( ) A. 有一个角是的等腰三角形 B. 顶角是的等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 不能确定三角形的形状 6.已知向量，，若向量在向量上的投影向量，则( ) A. B. C. D. 7.如图，在直三棱柱中，，为线段的中点，为线段包括端点上一点，则的面积的最大值为( ) A. B. C. D. 8.已知平面向量满足，则的最大值为( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知是复数，是其共轭复数，则下列命题中错误的是( ) A. B. 若，则的最大值为 C. 若，则复平面内对应的点位于第一象限 D. 若是关于的方程的一个根，则 10.已知的内接四边形中，，，，下列说法正确的是( ) A. B. 四边形的面积为 C. 该外接圆的直径为 D. 11.如图，点是棱长为的正方体的表面上一个动点，是线段的中点，则( ) A. 若点满足，则动点的轨迹长度为 B. 当点在棱上时，的最小值为 C. 当直线与所成的角为时，点的轨迹长度为 D. 当在底面上运动，且满足平面时，线段长度最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若复数满足，则 _____． 13.如图，为了测量河对岸的塔高，某测量队选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与现测量得，米，在点，处测得塔顶的仰角分别为，，则塔高 _____． 14.已知正四棱锥的所有棱长都为；点在侧棱上，过点且垂直于的平面截该棱锥，得到截面多边形，则的边数至多为_____，的面积的最大值为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 如图，在中，，点为中点，点为上的三等分点，且靠近点，设，． 用，表示，； 如果，，且，求． 16.本小题分 记的内角，，的对边分别为，，，已知． 求角的大小； 若点在线段上，且平分，若，且，求． 17.本小题分 如图，四棱锥的侧面是边长为的正三角形，底面为矩形，且平面平面，，分别为，的中点，直线与面所成角的正切值为． 证明：平面； 证明：． 18.本小题分 在中，角，，所对的边分别为，，，请从下列条件中选择一个条件作答：注：如果选择多个条件分别作答，则按第一个解答计分 ； ； ． 求的大小； 若为锐角三角形，求的取值范围； 若，点，，分别在等边的边，，上不含端点，若面积的最大值为，求． 19.本小题分 如图，在矩形中，，，是线段上的一动点，将沿着折起，使点到达点的位置，满足点平面且点在平面内的射影落在线段上． 当点与端点重合时，证明：平面； 当时，求二面角的余弦值； 设直线与平面所成的角为，二面角的平面角为，求的最大值． 答案和解析 1.【答案】 【解析】解：，其虚部为． 故选：． 结合复数的四则运算，对化简，再结合虚部的定义，即可求解． 本题主要考查复数的四则运算，以及虚部的定义，属于基础题． 2.【答案】 【解析】解：因为平行于轴，所以在中，， 又因为是中边的中点， 所以是的中点， 所以． 故选：． 根据题意，由直观图与原图的关系，结合条件，即可判断． 本题主要考查了平面图形的直观图，属于基础题． 3.【答案】 【解 ... ...
