浙江省温州市十校2023-2024学年高一下学期5月期中考试数学试卷（含解析）

浙江省温州市十校2023-2024学年高一下学期5月期中考试数学试卷 学校：_____姓名：_____班级：_____考号：_____ 一、选择题 1．已知,则复数z的虚部为( ) A.2 B.-2 C. D. 2．若向量,,则与共线的向量可以是( ) A. B. C. D. 3．若的外接圆的半径,,则( ) A.1 B. C.2 D. 4．已知单位向量,满足,则与的夹角为( ) A. B. C. D. 5．设是给定的平面,M、N是不在内的任意两点,则下列命题中正确的是( ) A.在内一定存在直线与直线相交B.在内一定存在直线与直线异面 C.一定存在过直线的平面与平行D.存在无数过直线的平面与垂直 6．在直三棱柱中,,,,则异面直线与所成角的余弦值为( ) A. B. C. D. 7．如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为，向山顶前进到达B处，又测得C对于山坡的斜度为，若，山坡对于地平面的坡度为，则等于( ) A. B. C. D. 8．在三棱锥中,底面,,,的面积为,则三棱锥的外接球表面积的最小值为( ) A. B. C. D. 二、多项选择题 9．下列说法正确的是( ) A. B.若,则 C. D.若是关于x的方程的根,则 10．对于任意的两个平面向量、,下列关系式恒成立的是( ) A. B. C. D. 11．如图所示,在等腰梯形中,已知,,将沿直线翻折成,则( ) A.翻折过程中存在某个位置,使得 B.当二面角为时,点C到平面的距离为 C.直线与所成角的取值范围为 D.当三棱锥的体积最大时,以为直径的球被平面所截的截面面积为 三、填空题 12．若向量,则与垂直的一个单位向量_____. 13．已知正四棱台的上、下底面的边长分别为2、4,侧棱长为,则该棱台的体积为_____. 14．已知平面向量,,满足,,,且,则的最大值为_____. 四、解答题 15．已知复数,,满足：,且的实部为正. （1）若在复平面内对应的点在第二象限,求m的取值范围; （2）当时,、对应复平面内的点分别为A、B,O为复平面原点,求证：. 16．如图,和都垂直于平面,且,F是的中点. （1）求证：平面; （2）若是正三角形,且,求直线与平面所成角的正弦值. 17．在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足_____.从条件①、条件②这两个条件中任选一个补充在上面横线上作为已知, （1）求角A; （2）若的面积为,D为的中点,求的最小值. 条件①：; 条件②：. 18．如图,在平行四边形中,M,N分别是线段,的中点,记,,且,,. （1）试用向量,表示,; （2）①求,的值; ②设O为的内心,若,求的值. 19．在三棱锥中,,,,,的中点为M,点D在线段上,且满足. （1）求证：; （2）当平面平面时, ①求点P到平面的距离; ②若N为的中点,求平面与平面夹角的余弦值. 参考答案 1．答案：B 解析：因为, 所以, 所以复数z的虚部为-2, 故选：B. 2．答案：A 解析：由题意可得 A.,所以向量与共线, 所以正确; B., 所以向量与不共线,所以不正确; C.,所以向量与 不共线, 所以不正确; D.,所以向量与不共线,所以不正确. 综上所述,答案选择:A. 3．答案：C 解析：的外接圆的半径,, 又由正弦定理,所以, 解得. 故选:C. 4．答案：D 解析： 5．答案：B 解析：当直线与平行时,在内不存在直线与直线相交,故A错误; 与的位置关系是平行或相交, 在内一定存在直线与直线异面, 故B正确; 若直线与平面相交时,不存在过直线的平面与平行,故C错误; 只有当与平面垂直时,才存在无数过直线的平面与垂直, 当与平面平行或斜交时,存在唯一的过直线的平面与垂直,故D错误. 故选：B. 6．答案：C 解析：连接,因为,所以等于异面直线与所成的角, 因为,,,所以, , 在中,由余弦定理可得, 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选:C. 7．答案：C 解析：在中，由正弦定理得，即，解得，在中，由正弦定理得，.故选C. 8．答案：B 解析：如图,取的外接圆圆心H,过点H作平面的垂线, 则三棱锥的外接球的球心O在该垂线上,且. 在中,,即. ,即. （当且仅当时取等号） 设外接圆半径为r,由正弦定理得,即. ... ...