第三章一元一次方程 复习讲义（5份）（无答案） 2023-2024学年人教版七年级数学上册

第三章 一元一次方程 第17 节 巧解一元一次方程 知识框架 一元一次方程是方程中最简单、最基础的部分，也是后续学习高次方程的基础.各类方程求解的过程往往本质上就是都要转化为一元一次方程的过程.一元一次方程的求解步骤分为：去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化为1.解一元一次方程的过程不仅需要合理安排求解步骤的顺序，还需要灵活使用分数性质、等式性质、换元等各种运算技巧和相关性质，这样才能使解方程的过程简便、高效. [2] 典型例题 例1 解方程： (1) 24(x--1)=48; (3)20%(x-2)+25%(x+1)=5×15%. 分析 解一元一次方程首先应考虑能否约分. 解 点评 简便运算，约分起步. 例2 解方程： 分析 考虑去分母的本质是便于合并同类项，通分的本质是促成同分母的加减.本题可将 约分，使方程两边抵消一些项，以达到减少通分困难，实现简便运算的目的. 解 点评 解方程的简便运算内容包括：分子分母约分、方程两边约简、方程两边抵消。 例3 解方程： 分析 分母中出现小数时，我们不忙于立即通分，而是利用分数基本性，将分母中的小数变为整数.第二个分数的分母是0.02，扩大50倍分母即变成1，这比扩大100倍要简便. 解 点评 观察分子与分母之间的等量关系是利用分数性质处理分母中的小数的常用方法，但处理分母的首要目的是便于达成同分母的加减运算，因此将分母整数化并不是处理分母的唯一方法. 例4 解 方程： 分析 通常我们先去小括号，再去中括号，最后去大括号，但有时我们可以改变去括号的顺序.如本题先去中括号，就会减少分数的出现. 解 点评 去括号化简代数式是解一元一次方程步骤中的重要一环，但如何确定去括号的顺序决定了去括号过程中的难易程度. 例5 解方程： 分析 如果我们利用乘法分配律去括号显然会使数据变得更加复杂.因此将多个分数的分母“化1”才是去括号的首选. 解 点评 解方程中去括号的方法有两种，一种是将括号外的数往括号里边乘，另一种是将括号外的数变为倒数乘到等号另一边. 例6 解 方程： 分析 (1)中可以将(x+1)视为一个整体，也可以将 或 视为一个整体，(2)中也有整体出现. 解 点评 整体思想是化繁为简的重要途径，也是巧解一元一次方程的有效方法.通过整体处理，方程变形成简单的形式，免去了去括号、去分母等运算过程. 例7 解 方程:|x-2|+|x-3|=1. 分析 含绝对值的方程，往往要分段讨论. 解 点评 解绝对值方程的基本方法有：去掉绝对值符号，将绝对值方程转化为常见的方程求解；数形结合，借助于图形的直观性求解，前者是通法，后者是技巧. 例8 解方程： 分析 本例的方程的分母中呈现出多个项，通分或去分母难度较大.由于分母呈现出一定的规律性，所以可以考虑求和公式使用.即 进而联想到裂项法的应用，从而可使本例的解答过程简化. 解 点评 裂项相消是常用的代数技巧，例如 等都是常见的变形. 例9 解方程： 分析 与上例一样，通分不是明智之举.观察分子与分母中数的关系，发现差值不变，可以考虑将分子作适当的拆分(即裂项)，再利用等式性质与乘法分配律的逆用，解方程的过程一定便捷许多. 解 点评 许多方程的分母数据较为复杂，让我们难以下手，通分、去分母都无效，裂项是一种主要的方法，但绝对不止这一种方法，下面的例10又为读者展示了一种全新的方法. 例10 解方程: 分析 本例的分母与分子无共性可寻，且分母依然出现多个连续互质的情况，因此未知数所在的分数无法进行拆分且通分不便，所以可以考虑将常数6进行等分性拆分，与等号左侧的三个分数部分重新整合，观察其特性以巧解方程. 解 点评 拆分含x代数式或常数，然后进行重新分配组合是处理多个互质不便通分的方程的常用方法，观察如何能够均衡地将拆分的部分进行重新分配组合是其中的重要环节. 第 18 节含字母系数的方程 知识框架 ... ...