2024年广东省中学生数学奥林匹克竞赛预赛试题（PDF含答案）

2024 年广东省中学生数学奥林匹克竞赛答案及评分标准 一试 一、填空题 1.已知m,a,b,c为正整数，且 a logm 2 b logm 3 c logm 5 2024，求m a b c的最小值是 _____． 【答案】3066 32x 12.已知 x 0, y 0， log x 3 y 3 y 2x 15 ，则 y x .y 【答案】11 . 3. 若 A、B为锐角且 sin B sin(A B) sin A，则 tan A的最大值为_____. 4 【答案】 3 4. 数列{an}满足:对任意 n 2，an 2024an 1 n . 如果该数列的每一项都是正数, 则 a1的最 小值为_____. 4047 4047 【答案】 2 （ ）2023 4092529 5.投篮测试规则如下：每人最多投三次，投中为止，且第 i次投中得分为 4 i 分（ i 1,2,3）， 若三次均未投中则得分为 0分．假设甲同学的投篮的命中率为 p 0 p 1 ，若甲参加投篮 测试的投篮次数的均值为 1.56，则 p ，甲投篮测试的得分的均值为 ． 【答案】 2.376 . xsin y cos 6.设 x, y均为非零实数，且满足 12 12 tan . 在 ABC中，若 tanC y ，则 xcos y sin 3 x 12 12 sin3A 3 sin 2B的最大值为 . 3 【答案】 2 7. z 2已知虚数 z满足 R ，则 | z2 2z 3 |的最大值为_____. z 10 【答案】 3 . 3 1 8. n是正整数， 3n 1没有 12以上的质因子，则所有满足条件的 n和是_____. 【答案】12 9.已知四面体 PABC，点 A1在 PBC内，满足 A1BP, A1CP, A1BC 的面积之比为3: 2 :1，G AG PG 在线段 AA1 上，直线 PG交平面 ABC于点M，且 ，则四面体 PABC与 A1AMB的GA1 GM 体积之比为_____. 【答案】12 10. 如图，在一个10 10的方格表中填入 0和 1，使得任意一个 3 3的方格表中都恰有一个 1，则满足要求的填法数共有_____种 【答案】 261 二、解答题 2 2 11.已知抛物线C : y2 18x 27 x y 的焦点与椭圆 E : 2 1(a b 0)的右焦点 F 重合，Ca b2 2 的准线经过 E的左顶点. （1）求 E的方程； （2）已知点 F1为 E的左焦点，P为 E上的一点（异于左、右顶点），△PF1F2外接圆的半径 为 R，内切圆的半径为 r ，求 R r的取值范围. 3 p 18 9 3 9 【解析】（1）易知C的顶点坐标为 ( ,0)， ，所以C的焦点坐标为 ( ,0)， 2 2 4 2 2 2 3 9 即 (3,0)，C的准线方程为 x 6，所以 a 6,c 3， b2 a2 c2 27 ， 2 2 E : x 2 y2 所以 E的方程为 1；--4 分 36 27 2 F F （2）设 FPF ， PF a ， PF a ，由正弦定理可得 2R 1 2 2c1 2 1 1 2 2 ，即sin sin 2 c 3 a21 a 2 2 2c a1 a2 2 2a a 4c2 2 cos 1 2 4b 2a aR = ，则 1 2 ，即 sin sin 2a1 a2 2a1 a2 2a1 a2 a a 2b 2 54 1 2 ，--8 分cos 1 cos 1 1 27sin 27sin cos S a a sin 2 2 PF1F2 2 1 2 27 tan cos 1 cos2 2 2 又 S PF F S IF F S IF P S 1 IF P F1F 1 2 PF1 PF2 r 2a 2c r 9r，--12 分1 2 1 2 1 2 2 2 9 tan 所以 27 tan 9r r 9，即 3tan ，所以 R r 2 ， 2 2 sin 2cos2 2 又因为当 P在短轴的端点时， 最大，此时， 60 ，--16分 0, 0, cos 3 所以 ，即 ，所以 ,1 ， 3 2 6 2 2 故 R r 9 9 ,6 .--20 分 2cos2 2 2 12．已知方程 ln x x(1 m) 0, (m R)有两个不同的零点，分别记为 a，b，且 a b． （1）求实数m的取值范围； （2）若不等式 t 1 lna t lnb恒成立，求正数 t的取值范围． 【解析】（1）设 f x ln x x(1 m),(m R) 1的定义域为 0, ， f (x) 1 m， x 当m 1时，因 f (x) 0，故函数 f x 在 0, 上单调递增，不存在两个零点，不合题意； 当m 1 1时，设 g(x) f (x) 1 m， g (x) 1 2 0，x x 故 g x 在 0, 上单调递减，即 f (x) 1 1 m在 0, 上单调递减， x 由 f x 0 x 1，得 ， m 1 1 当 0 x 时， f x 0； m 1 1 当 x时， f x 0； m 1 3 所以当 x 1 时， f x 取得最大值. m 1 f 1 即 ln 1 1 (1 m) ln(m 1) 1,--4 分 m 1 m 1 m 1 若函数 f (x)有两个不同的零点，则 ln(m 1) 1 0 1 1 即 ln(m 1) 1 ln ，解得m 1 ，又m 1 e e 当 x ... ...