2024 年广东省中学生数学奥林匹克竞赛答案及评分标准 一试 一、填空题 1.已知m,a,b,c为正整数,且 a logm 2 b logm 3 c logm 5 2024,求m a b c的最小值是 _____. 【答案】3066 32x 12.已知 x 0, y 0, log x 3 y 3 y 2x 15 ,则 y x .y 【答案】11 . 3. 若 A、B为锐角且 sin B sin(A B) sin A,则 tan A的最大值为_____. 4 【答案】 3 4. 数列{an}满足:对任意 n 2,an 2024an 1 n . 如果该数列的每一项都是正数, 则 a1的最 小值为_____. 4047 4047 【答案】 2 ( )2023 4092529 5.投篮测试规则如下:每人最多投三次,投中为止,且第 i次投中得分为 4 i 分( i 1,2,3), 若三次均未投中则得分为 0分.假设甲同学的投篮的命中率为 p 0 p 1 ,若甲参加投篮 测试的投篮次数的均值为 1.56,则 p ,甲投篮测试的得分的均值为 . 【答案】 2.376 . xsin y cos 6.设 x, y均为非零实数,且满足 12 12 tan . 在 ABC中,若 tanC y ,则 xcos y sin 3 x 12 12 sin3A 3 sin 2B的最大值为 . 3 【答案】 2 7. z 2已知虚数 z满足 R ,则 | z2 2z 3 |的最大值为_____. z 10 【答案】 3 . 3 1 8. n是正整数, 3n 1没有 12以上的质因子,则所有满足条件的 n和是_____. 【答案】12 9.已知四面体 PABC,点 A1在 PBC内,满足 A1BP, A1CP, A1BC 的面积之比为3: 2 :1,G AG PG 在线段 AA1 上,直线 PG交平面 ABC于点M,且 ,则四面体 PABC与 A1AMB的GA1 GM 体积之比为_____. 【答案】12 10. 如图,在一个10 10的方格表中填入 0和 1,使得任意一个 3 3的方格表中都恰有一个 1,则满足要求的填法数共有_____种 【答案】 261 二、解答题 2 2 11.已知抛物线C : y2 18x 27 x y 的焦点与椭圆 E : 2 1(a b 0)的右焦点 F 重合,Ca b2 2 的准线经过 E的左顶点. (1)求 E的方程; (2)已知点 F1为 E的左焦点,P为 E上的一点(异于左、右顶点),△PF1F2外接圆的半径 为 R,内切圆的半径为 r ,求 R r的取值范围. 3 p 18 9 3 9 【解析】(1)易知C的顶点坐标为 ( ,0), ,所以C的焦点坐标为 ( ,0), 2 2 4 2 2 2 3 9 即 (3,0),C的准线方程为 x 6,所以 a 6,c 3, b2 a2 c2 27 , 2 2 E : x 2 y2 所以 E的方程为 1;--4 分 36 27 2 F F (2)设 FPF , PF a , PF a ,由正弦定理可得 2R 1 2 2c1 2 1 1 2 2 ,即sin sin 2 c 3 a21 a 2 2 2c a1 a2 2 2a a 4c2 2 cos 1 2 4b 2a aR = ,则 1 2 ,即 sin sin 2a1 a2 2a1 a2 2a1 a2 a a 2b 2 54 1 2 ,--8 分cos 1 cos 1 1 27sin 27sin cos S a a sin 2 2 PF1F2 2 1 2 27 tan cos 1 cos2 2 2 又 S PF F S IF F S IF P S 1 IF P F1F 1 2 PF1 PF2 r 2a 2c r 9r,--12 分1 2 1 2 1 2 2 2 9 tan 所以 27 tan 9r r 9,即 3tan ,所以 R r 2 , 2 2 sin 2cos2 2 又因为当 P在短轴的端点时, 最大,此时, 60 ,--16分 0, 0, cos 3 所以 ,即 ,所以 ,1 , 3 2 6 2 2 故 R r 9 9 ,6 .--20 分 2cos2 2 2 12.已知方程 ln x x(1 m) 0, (m R)有两个不同的零点,分别记为 a,b,且 a b. (1)求实数m的取值范围; (2)若不等式 t 1 lna t lnb恒成立,求正数 t的取值范围. 【解析】(1)设 f x ln x x(1 m),(m R) 1的定义域为 0, , f (x) 1 m, x 当m 1时,因 f (x) 0,故函数 f x 在 0, 上单调递增,不存在两个零点,不合题意; 当m 1 1时,设 g(x) f (x) 1 m, g (x) 1 2 0,x x 故 g x 在 0, 上单调递减,即 f (x) 1 1 m在 0, 上单调递减, x 由 f x 0 x 1,得 , m 1 1 当 0 x 时, f x 0; m 1 1 当 x时, f x 0; m 1 3 所以当 x 1 时, f x 取得最大值. m 1 f 1 即 ln 1 1 (1 m) ln(m 1) 1,--4 分 m 1 m 1 m 1 若函数 f (x)有两个不同的零点,则 ln(m 1) 1 0 1 1 即 ln(m 1) 1 ln ,解得m 1 ,又m 1 e e 当 x ... ...
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