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课件网) 3.2 基本不等式 （第一课时） 高中数学北师大版必修第一册 第一章 预备知识 一、情境创设 导入课题 情境：请看一段视频，并观察下面这个图形在视频中出现了几次？ 一、情境创设 导入课题 一、情境创设 导入课题 下面这个图形在视频中出现了 次. 第24届国际数学家大会（ICM2002）的会标 3 问题 ：你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？ （3） = （2） = 问题 2： 不等式 对任意的实数都成立吗？ 二、自主探究 推导公式 （1）正方形 的边长为 （4）由图可知， ，即： 问题 1：对于“情境”中的图形，把“风车”抽象成平面图形.在正方形 4个全等的直角三角形.设直角三角形的两条直角边长为 ,正方形 的面积 为 ， 4个直角三角形的面积和为 ，则 问题 3:设 ,当我们用分别代替上面不等式中的可以得到什么式子？取等号的条件是什么？ 替换后得到： 即： 二、自主探究 推导公式 基本不等式：设 , （当且仅当 时，等号成立） 算术平均值 几何平均值 基本不等式又称均值不等式，也可以表述为： 两个非负实数的算术平均值大于或者等于它们的几何平均值. 二、自主探究 推导公式 要证 ① 只要证 ② 要证②, 只要证 ③ 要证③, 只要证 ④ 显然，④是成立的.当且仅当 时，④中的等号成立. 二、自主探究 推导公式 问题 4：还有没有其他证明基本不等式的方法？ 二、自主探究 推导公式 探究：如图， 是圆的直径，点 是 上一点， ， . 过点 作垂直于 的弦 ， 连接 ， . 则： 即： 基本不等式的几何意义： 半径不小于弦长的一半 （1）半径 （2） （3）显然 A O C B F ≥ 如图,AB是半圆O的直径，点C在AB上，且AC=,CB=.过点O作AB的垂线，交弧AB于点F,连接FC.试利用FC≥OF，写出一个关于,的不等式，并将这个不等式与基本不等式进行比较. 0三.学以致用，迁移内化 例1 已知 ,当且仅当a=b=c时，等号成立. 上面三式相加，得 ,当且仅当a=c时，等号成立. ,当且仅当b=c时，等号成立， ,当且仅当a=b时，等号成立， 证明：因为a>0,b>0,c>0,所以由基本不等式，得 三.学以致用，迁移内化 即: 练习1.已知求证:. 证明:因为 所以，当且仅当=时，等号成立 当且仅当=时，等号成立， ，当且仅当=时，等号成立， 上面三式相乘，得 ，当且仅当==时，等号成立. 三.学以致用，迁移内化 例2.已知 ，求证： 三.学以致用，迁移内化 练习2.判断下列3个命题是否正确，并说明理由. 三.学以致用，迁移内化 四、课堂小结 布置作业 数学抽象 特殊到一般 直观想象 数形结合 代换 数形结合 不 等 式 的 性 质 逻 辑 推 理 数学运算 数学建模 求最值 注意： 一正 二定 三相等 直观想象 变形 1、必作题： 课本28页： 练习 3 30页：A组3、5，B组1 五、课堂小结 布置作业 2、选作题： 课本31页：B组2 感谢聆听！ ... ...
