6.3.2 刻画空间点、线、面位置关系的公理 教案

第六章 立体几何初步 6.3.2刻画空间点、线、面位置关系的公理(2) 1.认识基本事实4和定理，并能做简单的应用． 2.认识异面直线的概念，识别异面直线，并能够求简单的异面直线夹角. 3.提升直观想象和数学抽象素养． 教学重点：认识基本事实4、定理、异面直线的概念及夹角． 教学难点：通过平移，体会将空间问题转化为平面问题的思想，求异面直线的夹角． 一、新课导入 回顾：上节课，我们学习了哪些刻画空间点、线、面的公理及推论？ 答案：1、基本事实1：过不在一条直线的三个点，有且只有一个平面. 2、基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内. 3、推论1：一条直线和该直线外一点确定一个平面. 4、推论2：两条相交直线确定一个平面. 5、推论3：两条平行直线确定一个平面. 6、基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 今天我们要继续学习刻画点、线、面的基本事实. 设计意图：通过复习，巩固上一课时的知识，进而引出本次课的课题，有助于知识的迁移. 二、新知探究 问题1：我们知道在平面中，平行线具有传递性，在空间中，平行线是否仍具有传递性？ 追问：如图，已知AB∥CD，CD∥C′D′，那么AB∥C′D′吗？ 答案：平行. 基本事实4：平行于同一直线的两条直线平行.（空间平行线的传递性） 符号语言：若a∥b，b∥c，则a∥c. 思考：两条没有公共点的直线一定平行吗？ 答案：不一定. 不同在任何一个平面内（不共面）的两条直线称为异面直线. 异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点. 追问1：长方体中与AD异面的直线有几条？ 答案：4条，BB′、CC′、A′B′、C′D′. 总结：空间直线间的位置关系可分为共面直线和异面直线，其中共面直线又分为平行直线和相交直线. 相交直线：在同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：在同一平面内，没有公共点； 追问2：若空间中有直线a、b、c，且a⊥b，b⊥c，那么a⊥c成立吗？ 答案：不成立.垂直没有传递性. 问题2：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角的大小有什么关系？ 分析：通过平移，空间中两角关系可转化为平面中两角关系. 答案：相等或互补. 定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. 问题3：正方体ABCD-A′B′C′D′中，E为BC的中点，判断直线A′C′、B′C′、C′E、C′C与直线AB的位置关系. 答案：异面（各自与AB的相对位置却不同）. 仅用“异面”不足以描述异面直线的相对位置，我们是否可以类比平面几何中直线相交夹角的概念，引入“异面直线所成的角”. 追问1：如何确定“异面直线所成的角”？ 答案：平移. 如图，已知两条异面直线a，b，过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，这时a′，b′共面，我们把a′与b′所成的不大于90°的角称为异面直线a，b所成的角（或夹角）. 思考：异面直线a，b所成角的范围是多少？ 答案：(0°，90°] 假设两条异面直线a，b所成的角为0°，则两直线平行（共面），故不存在0°角的情况； 若两条异面直线a，b所成的角为直角，则称这两条直线互相垂直（异面垂直），记作：a⊥b. 故现在两直线垂直关系包括：相交垂直（共面），异面垂直，都记作a⊥b. 研究异面直线所成的角，就是通过平移，使得空间问题转化为平面几何问题.这种解决问题的思想方法在后面解决问题中很常用. 三、应用举例 例1 四个顶点不在同一平面内的四边形称为空间四边形.如图，在空间四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形. 解：如图，连接BD， ∵FG是△CBD的中位线 ∴FG∥BD，FG=BD 又∵EH是△ABD的中位线 ∴EH∥BD，EH=BD ∴FG∥EH，FG=EH ∴四边形EFGH是平行四边形 例2 如图，已知正方体ABCD-A ... ...