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课件网) 人教2019B版选择性必修第一册 第二章平面解析几何 2.6.1双曲线的标准方程 1.结合实际情景熟悉双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.(逻辑推 理、数学抽象) 2.掌握双曲线的标准方程及其求法.(数学运算) 3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单实际问题.(数学运算) 4.与椭圆的标准方程进行比较，并加以区分. (逻辑推理) 如图所示，某中心O 接到其正西、正东、正北方向三个观测 点A,B,C 的报告：A,C 两个观测点同时听到一声巨响，B 观测 点听到的时间比A 观测点晚4s, 已知各观测点到该中心的距离都是 1020m, 假定当时声音传播的速度为340m/s, 且A,B,C,0 均在同一 平面内.你能确定该巨响发生的点的位置吗 |PBI-|PA|=4×360=1360 1.双曲线的定义 一般地，如果F ,F 是平面内的两个 定 点 ，a 是一个正常数，且2a<|F F ], 则平面上满足|PF |-|PF ||=2a的动点 P的轨迹称为双曲线 a(常数),0<2a 两个定点叫做双曲线的焦点，两 焦点的距离 |F F 叫做双曲线的 焦距 自然语言 符号语言 焦点与焦距 你能利用拉链等日常生活中的物品作出双曲线吗 如图①所示，取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点 F ,F 上，把笔尖放在点M处，随着拉链逐渐拉开或者闭拢，笔尖所经过的点就画出一条曲 线，这就是双曲线的一支.把两个固定点的位置交换，如图②所示，类似可以画出双曲线的 另一支.这两条曲线合起来叫做双曲线.双曲线上的点到两定点F ,F 的距离有何特点 图① 图② 怎样从数学上证明满足双曲线定义的点一定是存在的 这样的点有多少 个 你能想到什么办法来解决这两个问题 从椭圆的情形一样，下面我们用坐标法来探讨尝试与发现中的问题， 并求出双曲线的标准方程。 以F ,F 所在直线为x 轴，线段F F 的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系x0y, 此时双曲线的焦点分别为F (-c,0),F (c,0) 设P(x,y) 是双曲线上一点，则 因 IPFIP=J-+0 +;IPpI=√x-o +v 所以 √(x+c) +y - √ (x-c) +y =±2a ① 因为c>a>0, 所以c -a >0 设c -a =b 且b>0, 则④可化为 且②与①右边同时取正号或负号，①+②整理得 ② ④ 设双曲线的焦点为F 和F , 焦距为2c, 而且双曲线上的动点P满足 ||PF I-|PF I|=2a, 其中c>a>0, 以F ,F 所在直线为y轴，线段F F 的垂直平分 线为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示，此时； (1)双曲线焦点的坐标分别是什么 (2)能否通 (a>0,b>0), 来得到此双曲线方程形式 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 焦点 a,b,c的关系 2.双曲线的标准方程 椭圆 双曲线 定义 MF I+|MF I=2a (2a>|F F I) |MF I-IMF II=2a (0<2a<|F F I) a,b,c的关系 b =a -c b =c -a 标 准 方 程 焦点在 x轴上 焦点在 y轴上 双曲线与椭圆的比较 1.在双曲线的定义中，若去掉条件0<2a<|F F I, 则点的轨迹是怎样的 提 示：①当2a 等于|F F I 时，动点的轨迹是以F ,F 为端点的两条方向 相反的射线(包括端点). ②当 2a大于 |F F I时，动点的轨迹不存在. ③当2a等于零时，动点轨迹为线段F F 的垂直平分线. 2.判断 (1)平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线. ( ) (2)平面内到点F (0,4),F (0,-4) 的距离之差等于5的点的轨迹是双曲线. ( ) (3)平面内到点F (0,4),F (0,-4) 的距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线. ( ) 答案：(1)×(2)×(3)× 当焦点在x 轴上时，设双曲线方程为 将点(1,1)代入方程中，得 此时双曲线的标准方程为 .同理求得焦点在y 轴上时，双曲线 的标准方程为 答案：D 3.过点(1,1), 的双曲线的标准方程是( ) 解析：· ∴b =2a . 分析(1)设双曲线方程 ,代入点的坐标，解方程 即可得到. (2)可设双曲线方程为mx -ny =1, ... ...
