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课件网) 6.2.1导数与函数的单调性（2） 导数是函数的瞬时变化率，因此导数必然与函数的增减性以及增减的快慢有关，这节课我们继续学习利用导数来研究函数的性质，体会导数在研究函数性质中的作用！ 能用导数判断函数增减性的快慢；（重点） 能利用导数判断简单含参函数的单调性.（难点） 思考1：作出对数函数 y = ln x 及其导函数的图像，观察函数图像的变化趋势与导数值的大小有怎样的关系 探究点1:函数的变化速度 因为 (x∈(0，+∞))， 当 越来越大时，越来越小， 所以函数 递增的越来越慢，图象上升得越来越“平缓”. x y O y = ln x 思考2：作出对数函数 y = x3 及其导函数的图像，观察函数图像的变化趋势与导数值的大小有怎样的关系 y = x3 x y O y′ = 3x2 因为y′ = ，在(- ∞ ，0)和(0，+ ∞) 上， y′＞0，当x=0时， y′ =0，所以y = 在R上单调递增； 在(- ∞ ，0)上，当 越来越大时，y′越来越小， 函数 y = 递增得越来越慢，图象上升得越来越“平缓”. 在 (0，+ ∞) 上，当 越来越大时，y′越来越大， 函数 递增得越来越快，图象上升得越来越“陡峭”. 函数值增减快慢与导数的关系 函数的图像 的变化规律 函数值变化规律 图像特点 越来越大 函数值增加得越来越快 越来越陡峭 越来越小 函数值增加得越来越慢 越来越平缓 越来越大 函数值减少得越来越快 越来越陡峭 越来越小 函数值减少得越来越慢 越来越平缓 x y O x y O x y O x y O 例 4.生物学上的种群研究表明，很多物种的数量与时间的关系都存在下述规律：一开始，由于物种数量较少，因此物种数量的增加比较慢；随着物种数量的增加，又因为有大量的资源可以加以利用，物种数量的增加会越来越快；到了一定程度之后，因为资源有限，再加上物种内部的竞争开始变得激烈，物种数量的增加将减缓. 假设是时间的函数，而且认为它们都能在某一区间内任意取值，则如图所示(1)(2)中，哪个能近似地表示上述规律？ （1） x t O 快 慢 快 x t O （2） 慢 快 慢 跟踪训练：如图，设有圆C和定点O，当l从l0 开始在平面上绕O点匀速旋转(旋转角度不超过90°)时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，它的图象大致是下列四种情况中的哪一种？ 探究点2:含参函数的单调性 例 5.讨论函数的单调性，其中a为实常数. 解：根据题意，函数的定义域为， 又， 令，可得， ①当，即时， 恒成立，此时在上单调递增； ②当，即时， 的解为， 此时在上单调递减，在 )上单调递增. y x O ① y x O ② 跟踪训练：讨论函数的单调性，其中a为实常数. 解：根据题意，函数的定义域为R， 又， ①当时，恒成立，此时在上单调递增； ②当时，令，可得， 的解为; 的解为， 此时在上单调递减，在 )上单调递增. y x O 【总结】 讨论含参函数单调性的步骤： (1)确定函数的定义域（定义域优先）； (2)求导数； (3)求的根：①讨论有根、无根； ②讨论根是否在定义域内； ③讨论根的大小. (4)在定义域内解不等式，（或找出的点，这些点将定义域分成若干个小区间，确定在各个小区间内的符号）； (5)根据(3)的结果确定函数的单调区间. 探究点3:已知函数的单调性求参数范围 思考：观察函数 y = x3 及其导函数的图像，判断如果函数在区间上单调递增，那么在区间内必有吗？ y = x3 x y O y′ = 3x2 y = 在R上单调递增 y′ = ，在(- ∞ ，0)和(0，+ ∞) 上， y′＞0，当x=0时， y′ =0. 如果函数在区间上单调递增，那么在此区间内 . 如果函数在区间上单调递增，那么在此区间内 . 例6：已知函数在区间(0,1)上单调递减，求a的范围. 解： 因为在区间(0,1)上单调递减， 显然 所以有恒成立 ， 令, 分离参数 求最小值 导数与函数的性质 求含参函数的单调性 已 ... ...
