2010高考数学专题复习课件：08函数的奇偶性与周期性

课件8张PPT。函数的奇偶性与周期性　　1.若对于函数 f(x) 定义域内任意一个 x, 都有 f(-x)=f(x), 则 称 f(x) 为偶函数. 一、函数的奇偶性　　2.若对于函数 f(x) 定义域内任意一个 x, 都有 f(-x)=-f(x), 则 称 f(x) 为奇函数. 二、简单性质 研究半个区间！1.奇函数的图象关于原点对称, 偶函数的图象关于 y 轴对称.反之成立！2.单调性:3.奇函数: f(0)=0(0 在定义域中), 偶函数: f(x)=f(|x|). 3.若函数 f(x) 不具有上述性质, 则称 f(x) 不具有奇偶性; 若函数同时具有上述两条性质, 则 f(x) 既是奇函数, 又是偶函数.例: 函数 f(x)=0(x∈D, D关于原点对称)是既奇又偶函数. 三、函数奇偶性的判定方法 1.根据定义判定:　　首先看函数的定义域是否关于原点对称, 若不对称, 则函数是非奇非偶函数;若对称, 再判定 f(-x)=f(x) 或 f(-x)=-f(x). 2.利用定理, 借助函数的图象判定: 3.性质法判定: 在公共定义域内,两奇函数之积(商)为偶函数;两偶函数之积(商)也为偶函数; 一奇一偶函数之积(商)为奇函数. (注意取商时分母不为零!)四、函数的周期性 如果存在一个非零常数 T, 使得对于函数定义域内的任意 x, 都有 f(x+T)=f(x), 则称函数 f(x) 为周期函数, T 为函数的一个周 期. 若f(x)的周期中, 存在一个最小的正数, 则称它为函数的最小正周期.五、典型例题　1.判断下列函数的奇偶性： 偶函数 奇函数 既奇又偶函数 非奇非偶函数 奇函数 偶函数 (2)试将函数 y=2x 表示为一个奇函数与一个偶函数的和. f(1)>g(0)>g(-2) 偶函数 奇函数 f(4a+x)=f(x). 5.已知定义在 R 上的函数 y=f(x) 满足 f(2+x)=f(2-x), 且 f(x)是偶函数, 当 x∈[0, 2]时, f(x)=2x-1, 求 x∈[-4, 0]时 f(x) 的表达式. 6.若对任意的 x∈R, 都有 f(a+x)=f(a-x), 且 f(b+x)=f(b-x), 其中 b>a. 则 f(x) 是以 2(b-a) 为周期的周期函数. 8.已知 f(x) 是定义在 R 上的不恒为零的函数, 且对于任意的 a, b∈R 都满足: f(ab)=af(b)+bf(a). (1)求 f(0), f(1) 的值; (2)判断 f(x) 的奇偶性, 并证明你的结论. 9.已知 f(x) 是定义在 R 上的函数, 且对于任意的 a, b∈R 都满足: f(a+b)+f(a-b)=2f(a)f(b) 且 f(0)?0. (1)求证: f(x)是偶函数; (2)若存在正数 m, 使 f(m)=0, 求满足 f(x+T)=f(x) 的一个 T(T?0)的值.0, 0, f(-1)=0, f(-b)=-f(b), 奇函数(1)f(0)=1, f(-b)=f(b), (2)考虑 f(a+m), f(a+2m), f(a+4m). 7.若对任意的 x∈R, 都有 f(x)=f(2a-x), 且 f(x)+f(2b-x)=2c, 其中 a?b. 则 f(x) 是以 4(a-b) 为周期的周期函数.课堂练习D B C A 5.奇函数 f(x) 在[3, 7]上是增函数, 在[3, 6]上的最大值为 8, 最小值为 -1, 则 2f(-6)+f(-3) 的值为( ) A. 5 B. -5 C. -13 D. -15 6.奇函数 f(x) 在[-1, 0]上是减函数, ?, ? 是锐角三角形的两 个内角, 且 ???, 则下列不等式中正确的是( ) A. f(cos?)>f(cos?) B. f(sin?)>f(sin?) C. f(cos?)