中小学教育资源及组卷应用平台 21.2 二次函数的图象和性质 导学案 （一）学习目标： 1.掌握用描点法画出二次函数的图象。 2.掌握用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。 3.经历探索二次函数的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及性质的过程，理解二次函数的性质。 （二）学习重难点： 重点：掌握用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。 难点：理解二次函数的性质。 阅读课本，识记知识： 1. 二次函数基本形式：的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 的性质：上加下减。 3. 的性质：左加右减。 4. 的性质： 5.二次函数图象的画法： 五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）。 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点. 6.二次函数的性质 （1） 当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为． 当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，有最小值． （2） 当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为．当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值． 7.二次函数解析式的表示方法 （1）一般式：（，，为常数，）； （2）顶点式：（，，为常数，）； （3）两根式：（，，是抛物线与轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. 【例1】抛物线与的共同特点是（ ） A．开口都向上 B．对称轴都是y轴 C．都有最高点 D．都是y随x的增大而增大 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象的性质．根据题目中的函数解析式和二次函数的性质可以解答本题． 【详解】解：抛物线开口向下，经过原点，有最高点，对称轴是y轴，在对称轴左侧，随增大而增大，在对称轴右侧，随增大而减小， 抛物线开口向上，经过原点，有最低点，对称轴是y轴，在对称轴左侧，随增大而减小，在对称轴右侧，随增大而增大， ∴抛物线和的共同性质是：对称轴都是y轴， 故选：B． 【例2】 已知二次函数的图象经过，两点．若，，则a的值可能是（ ） A．2 B．4 C．5 D．9 【答案】D 【分析】此题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数的对称性确定出对称轴的范围，然后求解即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向下， ∵图象经过，两点，， ∴对称轴在5到10之间， ∴a的值可能是9． 故选D． 【例3】 二次函数的图像如图所示，对称轴是直线，下列结论： ①； ②； ③； ④（为实数）． 其中结论正确的为（ ） A．①④ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数图像与系数的关系、平方差公式等知识，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与轴交点位置判断①；由与的关系及时可判断②；利用，根据时，时可判断③；由时取最小值可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∵抛物线与轴交点在轴下方， ∴， ∴，故①正确； ∵时，，故②不正确； ∵， 且，， ∴，故③不正确； ∵时，为最小值， ∴，故④正确． 综上所述，结论正确的有①④． 故选：A． 选择题 1.二次函数的图象一定经过点（ ） A． B． C． D． 2.设边长为的正方形的面积为，则关于的函数图象大致是（ ） A． B． C． D． 3.关于二次函数的图象，下列结 ... ...
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