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课件网) （沪科版）数学 九年级 上 第21章 二次函数与反比例函数 21.3 二次函数与一元二次方程 学习目标 学习重难点 重点 难点 1.理解二次函数与一元二次方程(不等式)的关系. 2.能运用二次函数及其图象、性质确定方程的解. 3.了解用图象法求一元二次方程的近似根的方法. 二次函数图象、性质确定方程的解. 二次函数与一元二次方程(不等式)的关系. 回顾复习 一元一次方程与一次函数的关系： 1．一次函数 y＝kx＋b 的图象经过(0，3),(4，0)，则方程 kx＋b＝0 的解是_____． 2．如下图，一次函数 y＝kx＋b 的图象如图所示，则方程kx＋b＝1的解是_____． 可以看出当y取一个确定的值时， 一次函数就变成了一元一次方程. x=4 x=-2 问题引入 类似地，通过观察对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当y取一个确定值时，它就变成了一个一元二次方程，由此可知一元二次方程与二次函数有着密切的关系．那么它们之间到底有怎样的关系呢？ 探索新知 思 考： 观察二次函数y＝x2＋3x＋2的图象，并回答下列问题. (1)函数图象与x轴有几个交点？ (2)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点坐标与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根有什么关系？ 解：(1)函数图象与x轴有两个交点． (2)从以上观察可以得出，求函数 y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点坐标即是求当y＝0时，自变量x的值，也就是求方程ax2＋bx＋c＝0的根． 可以发现 二次函数与一元二次方程关系密切． 例如，已知二次函数 y = －x2＋4x的值为3，求自变量x的值， 可以解一元二次方程－x2＋4x=3（即x2－4x+3=0）． 反过来，解方程x2－4x+3=0 又可以看作已知二次函数 y = x2－4x+3 的值为0，求自变量x的值． 想一想： 观察下列二次函数，图象与x轴有公共点吗 如果有，公共点的横坐标是多少 当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少 由此你能得出相应的一元二次方程的根吗 (1) y＝x2＋x－2. (2)y＝x2－6x＋9. (3)y＝x2－x＋1. 解：根据题意可列如下表格： 知识归纳： 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系： 思 考： 如何利用二次函数求一元二次方程的近似解. 例：求一元二次方程x2+2x-1=0的根的近似值（精确到 0.1）. 分析：一元二次方程x +2x-1=0的根就是抛物线y=x +2x-1与x轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找出它与x轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法叫作图象法. 解：画出函数 y=x +2x-1 的图象（如图所示），由图象可知，方程有两个实数根，一个在-3与-2之间，另一个在0与1之间. 先求位于-3到-2之间的根，由图象可估计这个根是-2.5或-2.4，利用计算器进行探索，见下表： x … －2.5 －2.4 … y … 0.25 －0.04 … 观察上表可以发现，当x分别取-2.5和-2.4时，对应的y由负变正，可见在-2.5和-2.4之间肯定有一个x使y=0，即有y=x2-2x-1的一个根，题目只要求精确到0.1，这时取x=-2.5和x=-2.4都符合要求.但当x=-2.4时更为接近0.故x1≈-2.4. 同理可得另一近似值为x2≈0.4. 思 考： 如何利用函数图象解一元二次不等式呢？ 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴公共点的坐标与一元二次不等式的关系: 例题：函数y=ax2+bx+c的图象如图，那么 方程ax2+bx+c=2的根是 _____; 不等式ax2+bx+c>2的解集是_____; 不等式ax2+bx+c<2的解集是_____. x1=-2， x2=4 x<-2或x>4 -2
