中小学教育资源及组卷应用平台 九年级数学上点拨与训练 二十一章 一元二次方程 小结与复习 老师告诉你 一元二次方程题型非常广泛，常见有一元二次方程的解，一元二次方程的解法，一元二次方程根的情况，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的应用等，只要掌握了不同类型的题的特点，就可以使问题变的简单明了，本章热点概括为两个概念、一个解法、两个关系、一个应用、三种思想。 一、专题导航 二、考点点拨 考点1 两个概念 概念1一元二次方程的定义 典例剖析1 典例1．若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为_____. 针对练习1 1．已知是关于x的一元二次方程，则_____. 2．若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为( ) A.2 B.-2 C.2或-2 D.0 3．如果方程是关于x的一元二次方程，那么m的值为( ) A.±3 B.3 C.-3 D.都不对 概念2一元二次方程的根 典例剖析2 典例2．若关于x的一元二次方程有一个根是1,则m的值为( ) A.4 B.3 C.2 D. 针对练习2 1．已知关于x的一元二次方程. （1）若.求证：必是该方程的一个根. （2）当a，b，c之间的关系是_____时，方程必有一根是. 2．已知实数a是一元二次方程的一个根，求代数式的值. 3．若是关于x的方程的解，则的值为_____. 考点2 一个解法--一元二次方程的解法 典例剖析3 典例3．用适当的方法解下列方程. （1）； （2）； （3）. 针对练习3 1．解方程： （1）(公式法)； （2）(配方法)； （3）； （4）. 2．下面是小明解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务. 二次系数化为1，得………………………………第一步移项，得.……………………………………第二步配方，得，即……………………第三步由此，可得……………………………………第四步所以，，……………………第五步 任务： （1）上面小明同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，体现的数学思想是，其中“配方法”所依据的一个数学公式是； （2）“第二步”变形的依据是； （3）上面小明同学解题过程中，从第____步开始出现错误，请直接写出正确的解； （4）请你根据平时学习经验，就解一元二次方程时还需要注意的事项为其他同学提一条意见. 3．阅读下面的材料，回答问题： 要解方程，我们发现这是一个一元四次方程，不容易直接求解，如果注意到，根据该方程的特点，我们可以这样做： 解析：设， 那么， 于是原方程可变为， 解得，. 当时，， ； 当时，， ； 原方程有四个根，，，. 我们把以上这种解决问题的方法叫做换元法. 任务： （1）上述解方程的过程体现的数学思想主要是( ) A.分类讨论思想 B.转化思想 C.数形结合思想 D.公理化思想 （2）仿照上面的方法，解方程； （3）若实数m、n满足，则的值是_____. 考点3 两个关系 关系1一元二次方程的根与判别式的关系 典例剖析4 典例4．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根,则k的取值范围是( ) A. B.,且 C.,且 D. 针对练习4 1．已知关于x的一元二次方程，其中m，n在数轴上对应的点如图所示，则这个方程的根的情况是( ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.无法确定 2．已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值等于( ) A.0 B.1 C.2 D.无法确定 3．关于x的一元二次方程有实根，则m的最大整数解是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 4．已知关于x的一元二次方程，其中a、b、c分别为三边的长. （1）如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由； （3）如果是等边三角形，试求这个一元二次方程的根. 关系2一元二次方程根与系数的关系 典例剖析5 典例5．如果x、y是两个实数()且,,则的值等于( ) A. B. C. D.2023 针对练习5 1．若与是方程的两个实数根, ... ...
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