人教B版高中数学必修第一册第二章2-2-4第2课时均值不等式的应用课件(共42张PPT)+学案

第2课时　均值不等式的应用 学习 任务 1．进一步熟练掌握均值不等式，能够通过配凑、变形等方法利用均值不等式求最值．(数学运算) 2．会用均值不等式解决实际应用题．(数学建模) (1)某养殖场要用100米的篱笆围成一个矩形的鸡舍，怎样设计才能使鸡舍面积最大？ (2)某农场主想用篱笆围成一个10 000平方米的矩形农场，怎样设计才能使所用篱笆最省呢？ 问题　实例中两个问题的实质是什么？如何求解？ 知识点　重要结论 已知x，y都是正数． (1)若x＋y＝S(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值． (2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值． 上述命题可归纳为口诀：积定和最小，和定积最大． 思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个正数的积为定值，一定存在两数相等时，它们的和有最小值． (　　) (2)若a>0，b>0且a＋b＝4，则ab≤4． (　　) (3)当x>－1时，函数y＝x＋≥4，所以函数y的最小值是4． (　　) [答案]　(1)√　(2)√　(3)× [提示]　(1)由a＋b≥2可知正确． (2)由ab≤＝4可知正确． (3)不是常数，故错误． 类型1　利用均值不等式求最值 　直接利用均值不等式求最值 【例1】　(1)设x＞0，y＞0，且x＋y＝18，则xy的最大值为(　　) A．80 B．77 C．81 D．82 (2)当x＞1时，的最小值为_____． (1)C　(2)8　[(1)因为x＞0，y＞0，所以，即xy≤＝81，当且仅当x＝y＝9时，(xy)max＝81． (2)令t＝＝＝(x－1)＋＋2，因为x－1＞0， 所以t≥2＋2＝8，当且仅当x－1＝，即x＝4时，t的最小值为8．] 　利用均值不等式求最值时的注意点 (1)x，y一定要都是正数． (2)求积xy最大值时，应看和x＋y是否为定值；求和x＋y最小值时，应看积xy是否为定值． (3)等号是否能够成立． 简记为“一正二定三相等”，三个条件缺一不可． [跟进训练] 1．规定记号“⊙”表示一种运算，即a⊙b＝＋a＋b(a，b为正实数)．若1⊙k＝3，则k的值为_____，此时函数y＝的最小值为_____． 1　3　[由题意得1⊙k＝＋1＋k＝3，即k＋－2＝0， 所以＝1或＝－2(舍去)， 所以k＝1．y＝＝＝1＋≥1＋2＝3，当且仅当＝，即x＝1时，等号成立．] 　间接利用均值不等式求最值 【例2】　(1)已知x<，求4x－2＋的最大值． (2)当00， 所以4x－2＋＝－＋3≤－2＋3＝1， 当且仅当5－4x＝， 即x＝1时，等号成立， 故当x＝1时，4x－2＋取得最大值1． (2)由00，y＝x(8－2x)＝ [2x·(8－2x)]≤＝8， 当且仅当2x＝8－2x，即x＝2时，等号成立， 故当x＝2时，y＝x(8－2x)取得最大值为8． 　通过拼凑法利用均值不等式求最值的策略 拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题： (1)拼凑时，以整式为基础，注意利用系数的变化以及对等式中常数的调整，做到等价变形． (2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标． (3)拆项、添项应注意检验利用均值不等式求最值的三个条件． [跟进训练] 2．(1)已知x<，则3x＋的最大值为_____． (2)已知00， 所以3x＋＝2－≤2－2＝2－2， 当且仅当x＝时等号成立． 所以3x＋的最大值为2－2． (2)因为00， 所以y＝x＝·2x·(1－2x)≤＝． 当且仅当2x＝1－2x即x＝时等号成立， 所以y＝x的最大值为．] 类型2　利用均值不等式求条件最值 【例3】　(1)已知a>0，b>0，＝1，则2a＋3b的最小值为(　　) A．25　　　B．26　　　C．27　　　D．28 (2)已知正数x，y满足x＋2y－2xy＝0，那么2x＋y的最小值是_____． (3)已知 ... ...